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Calculo III

Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função.

f (x,y) = sen(3x+y²)

Cálculo IIIUFVJM

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Há mais de um mês

Dada a função \(f(x,y) = \sin(3x+y^2)\), suas derivadas em x e em y são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = {d \over dx}\Big[\sin(3x+y^2) \Big ] \\ {df(x,y) \over dy} = {d \over dy}\Big[\sin(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = \cos(3x+y^2) {d \over dx}(3x+y^2) \\ {df(x,y) \over dy} = \cos(3x+y^2) {d \over dy}(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = \cos(3x+y^2) (3+0) \\ {df(x,y) \over dy} = \cos(3x+y^2) (0+2y) \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{x} = {df(x,y) \over dx} = 3\cos(3x+y^2) \\ f_{y}={df(x,y) \over dy} = 2y\cdot\cos(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)


Portanto, as derivadas de segunda ordem \(f_{xx}\) e \(f_{yx}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = {df_{x} \over dx} \\ f_{yx} = {df_{y} \over dx} \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = 3{d \over dx}\Big [\cos(3x+y^2) \Big ] \\ f_{yx} = 2y\cdot{d \over dx} \Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = 3 \Big [-\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dx}(3x+y^2) \\ f_{yx} = 2y\cdot\Big [-\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dx}(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -3 \sin(3x+y^2) (3+0) \\ f_{yx} =- 2y \cdot \sin(3x+y^2) (3+0) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -9 \sin(3x+y^2) & (I) \\ f_{yx} = -6y\cdot\sin(3x+y^2) & (II) \end{matrix} \right.\)


E as derivada de segunda ordem \(f_{xy}\) e \(f_{yy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = {df_{x} \over dy} \\ f_{yy} = {df_{y} \over dy} \end{matrix} \right.\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = 3{d \over dy} \Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] \\ f_{yy} = 2{d \over dy} \Big [ y\cdot\cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = 3 \Big [ -\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dy}(3x+y^2) \\ f_{yy} = 2 \bigg \{ y{d \over dy}\Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] + \cos(3x+y^2){d \over dy}(y)\bigg \} \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -3\sin(3x+y^2) (0+2y) \\ f_{yy} = 2 \bigg \{ y\Big [ -\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dy}(3x+y^2) + \cos(3x+y^2)\cdot 1 \bigg \} \end{matrix} \right.\)

 \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -3\sin(3x+y^2) (2y) \\ f_{yy} = 2 \Big [ -y \sin(3x+y^2) (0+2y) + \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)   

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) \\ f_{yy} = 2 \Big [ -2y^2 \sin(3x+y^2) + \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) & (III) \\ f_{yy} = -4y^2 \sin(3x+y^2) + 2\cos(3x+y^2) & (IV) \end{matrix} \right.\)


Reunindo as equações \((I)\)\((II)\)\((III)\) e \((IV)\), as derivadas de segunda ordem da função \(f(x,y) = \sin(3x+y^2)\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -9 \sin(3x+y^2) \\ f_{yx} = -6y\cdot\sin(3x+y^2) \\ f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) \\ f_{yy} = -4y^2 \sin(3x+y^2) + 2\cos(3x+y^2) \end{matrix} \right. $}\)

Dada a função \(f(x,y) = \sin(3x+y^2)\), suas derivadas em x e em y são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = {d \over dx}\Big[\sin(3x+y^2) \Big ] \\ {df(x,y) \over dy} = {d \over dy}\Big[\sin(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = \cos(3x+y^2) {d \over dx}(3x+y^2) \\ {df(x,y) \over dy} = \cos(3x+y^2) {d \over dy}(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x,y) \over dx} = \cos(3x+y^2) (3+0) \\ {df(x,y) \over dy} = \cos(3x+y^2) (0+2y) \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{x} = {df(x,y) \over dx} = 3\cos(3x+y^2) \\ f_{y}={df(x,y) \over dy} = 2y\cdot\cos(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)


Portanto, as derivadas de segunda ordem \(f_{xx}\) e \(f_{yx}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = {df_{x} \over dx} \\ f_{yx} = {df_{y} \over dx} \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = 3{d \over dx}\Big [\cos(3x+y^2) \Big ] \\ f_{yx} = 2y\cdot{d \over dx} \Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = 3 \Big [-\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dx}(3x+y^2) \\ f_{yx} = 2y\cdot\Big [-\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dx}(3x+y^2) \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -3 \sin(3x+y^2) (3+0) \\ f_{yx} =- 2y \cdot \sin(3x+y^2) (3+0) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -9 \sin(3x+y^2) & (I) \\ f_{yx} = -6y\cdot\sin(3x+y^2) & (II) \end{matrix} \right.\)


E as derivada de segunda ordem \(f_{xy}\) e \(f_{yy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = {df_{x} \over dy} \\ f_{yy} = {df_{y} \over dy} \end{matrix} \right.\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = 3{d \over dy} \Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] \\ f_{yy} = 2{d \over dy} \Big [ y\cdot\cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = 3 \Big [ -\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dy}(3x+y^2) \\ f_{yy} = 2 \bigg \{ y{d \over dy}\Big [ \cos(3x+y^2) \Big ] + \cos(3x+y^2){d \over dy}(y)\bigg \} \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -3\sin(3x+y^2) (0+2y) \\ f_{yy} = 2 \bigg \{ y\Big [ -\sin(3x+y^2) \Big ]{d \over dy}(3x+y^2) + \cos(3x+y^2)\cdot 1 \bigg \} \end{matrix} \right.\)

 \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -3\sin(3x+y^2) (2y) \\ f_{yy} = 2 \Big [ -y \sin(3x+y^2) (0+2y) + \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)   

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) \\ f_{yy} = 2 \Big [ -2y^2 \sin(3x+y^2) + \cos(3x+y^2) \Big ] \end{matrix} \right.\)

\(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) & (III) \\ f_{yy} = -4y^2 \sin(3x+y^2) + 2\cos(3x+y^2) & (IV) \end{matrix} \right.\)


Reunindo as equações \((I)\)\((II)\)\((III)\) e \((IV)\), as derivadas de segunda ordem da função \(f(x,y) = \sin(3x+y^2)\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} f_{xx} = -9 \sin(3x+y^2) \\ f_{yx} = -6y\cdot\sin(3x+y^2) \\ f_{xy} = -6y\cdot \sin(3x+y^2) \\ f_{yy} = -4y^2 \sin(3x+y^2) + 2\cos(3x+y^2) \end{matrix} \right. $}\)

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Greicy

Há mais de um mês

as de segunda ordem, fxx = ∂^2 f /∂x^2 = -9sen(3x+y^2), fxy = ∂^2 f /∂y∂x = -6ysen(3x+y^2) = fyx = ∂^2 f /∂x∂y , e fyy = ∂^2 f /∂y^2= 2cos(3x+y^2) - 4(y^2)sen(3x+y^2).

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas