me ajudem a fazer essa derivada p=500x^0,5 e substitui o x 6400 e 8100.

Seja

\(\frac{d}{dx}500x^{\frac{1}{2}}\)

retirando a constante da derivada:

\(500\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)\)

utilizando a regra de derivadas: \(\frac{d}{dx}\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}\)

Temos:

\(500\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\ 500\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\\\)

Quando um número está elevado a \(1/2\) significa que ele está dentro da raiz, ou seja: \(\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\)

Além disso, quando ele está elevado a uma potencia negativa , é a mesma coisa que \(a^{-b}=\frac{1}{a^b}\)

Assim, reescrevendo a derivada encontrada:

\(500\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\\ 500\cdot \frac{1}{2\sqrt x}= 250\cdot \frac{1}{\sqrt x}\)

Assim:

\(\boxed{\frac{d}{dx}500x^{\frac{1}{2}}=250\cdot \frac{1}{\sqrt x}}\)

Aplicando em \(x=6400\) e \(x= 8100\)

\(\boxed{250\cdot \frac{1}{\sqrt {6400}}=3,125}\\ \boxed{250\cdot \frac{1}{\sqrt {8100}}=2,778}\)

4