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Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (sqrt3,-1). Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3)

Cálculo IIESTÁCIO

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Há mais de um mês

Para convertermos um ponto de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, basta sabermos:

\(r=\sqrt{x^2+y^2}\\ tg\ \theta={y\over x}\)

Substituindo nossos dados na expressão de \(r\), temos:

\(\begin{align} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ &=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\ &=\sqrt{3+1}\\ &=2 \end{align}\)

Para \(\theta\), temos:

\(\begin{align} tg\ \theta &= {-1\over\sqrt{3}}\\ tg\ \theta &= -{1\over\sqrt{3}}\\ \end{align}\)

Pelo enunciado, temos que:

\(tg\left({\pi\over3}\right)=\sqrt{3}\)

Logo temos:

\(\begin{align} tg\ \theta &= -{1\over tg\left({\pi\over3}\right)} \end{align}\)

Mas pela trigonometria, temos:

\(tg\left(\alpha+\beta\right)={sen\left(\alpha+\beta\right)\over cos\left(\alpha+\beta\right)}={sen\ \alpha\ cos\ \beta+sen\ \beta\ cos\ \alpha\over cos\ \alpha\ cos\ \beta-sen\ \alpha\ sen\ \beta}\)

Particularmente para \(\alpha={\pi\over3},\beta={\pi\over2}\), temos:

\(\begin{align} tg\left({\pi\over3}+{\pi\over2}\right)&={sen{\pi\over3}\ cos{\pi\over2}+sen{\pi\over2}\ cos{\pi\over3}\over cos{\pi\over3}\ cos{\pi\over2}-sen{\pi\over3}\ sen{\pi\over2}}\\ &={sen{\pi\over3}\cdot 0+1\cdot cos{\pi\over3}\over cos{\pi\over3}\cdot0-sen{\pi\over3}\cdot1}\\ &={cos{\pi\over3}\over -sen{\pi\over3}}\\ &= -{1\over tg\left({\pi\over3}\right)}=tg\ \theta \end{align}\)

Temos, portanto, que:

\(\theta = {\pi\over3}+{\pi\over2}={5\pi\over6}\)

Temos, finalmente, que \(\left(\sqrt{3},-1\right)\) em coordenadas cartesianas pode ser reescrito como \(\left(2,{5\pi\over6}\right)\) em coordenadas polares.

 

Para convertermos um ponto de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, basta sabermos:

\(r=\sqrt{x^2+y^2}\\ tg\ \theta={y\over x}\)

Substituindo nossos dados na expressão de \(r\), temos:

\(\begin{align} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ &=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\ &=\sqrt{3+1}\\ &=2 \end{align}\)

Para \(\theta\), temos:

\(\begin{align} tg\ \theta &= {-1\over\sqrt{3}}\\ tg\ \theta &= -{1\over\sqrt{3}}\\ \end{align}\)

Pelo enunciado, temos que:

\(tg\left({\pi\over3}\right)=\sqrt{3}\)

Logo temos:

\(\begin{align} tg\ \theta &= -{1\over tg\left({\pi\over3}\right)} \end{align}\)

Mas pela trigonometria, temos:

\(tg\left(\alpha+\beta\right)={sen\left(\alpha+\beta\right)\over cos\left(\alpha+\beta\right)}={sen\ \alpha\ cos\ \beta+sen\ \beta\ cos\ \alpha\over cos\ \alpha\ cos\ \beta-sen\ \alpha\ sen\ \beta}\)

Particularmente para \(\alpha={\pi\over3},\beta={\pi\over2}\), temos:

\(\begin{align} tg\left({\pi\over3}+{\pi\over2}\right)&={sen{\pi\over3}\ cos{\pi\over2}+sen{\pi\over2}\ cos{\pi\over3}\over cos{\pi\over3}\ cos{\pi\over2}-sen{\pi\over3}\ sen{\pi\over2}}\\ &={sen{\pi\over3}\cdot 0+1\cdot cos{\pi\over3}\over cos{\pi\over3}\cdot0-sen{\pi\over3}\cdot1}\\ &={cos{\pi\over3}\over -sen{\pi\over3}}\\ &= -{1\over tg\left({\pi\over3}\right)}=tg\ \theta \end{align}\)

Temos, portanto, que:

\(\theta = {\pi\over3}+{\pi\over2}={5\pi\over6}\)

Temos, finalmente, que \(\left(\sqrt{3},-1\right)\) em coordenadas cartesianas pode ser reescrito como \(\left(2,{5\pi\over6}\right)\) em coordenadas polares.

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas