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Como obter o valor da resistência R2?

A potência dissipada por duas resistências ligadas em série é 4 vezes menor do que a potência dissipada pelas mesmas resistências quando elas estão ligadas em paralelo (com a mesma fonte). Conhecendo-se uma das resistências R1 = 2Ω, obtenha o valor da outra resistência. Despreze a resistência interna da fonte.


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Na ligação em série, tem-se uma resistência \(R_1 = 2 \, \mathrm{\Omega}\), uma resistência \(R_2\) desconhecida e uma fonte de tensão \(V\). Portanto, a corrente \(I_{serie}\) que passa pelas resistências é:

\(\Longrightarrow I_{serie} = {V \over R_1+R_2}\)


E a potência dissipada pelas resistências é:

\(\Longrightarrow P_{serie} = R_1\cdot I_{serie}^2+R_2 \cdot I_{serie}^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = (R_1+R_2 )\cdot I_{serie}^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = (R_1+R_2 )\cdot \Big ({V \over R_1+R_2} \Big)^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = {V^2 \over R_1+R_2}\)


Reescrevendo a equação anterior, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow V^2 = P_{serie}(R_1+R_2)\)    \((I)\)


Na ligação em paralelo, com as mesmas resistências e a mesma fonte, a potência total dissipada pelas resistências é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = {V^2 \over R_1} + {V^2 \over R_2}\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = V^2 \Big ({1 \over R_1} + {1 \over R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = V^2 \Big ({R_1 + R_2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)    \((II)\)


Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = P_{serie}(R_1+R_2)\Big ({R_1 + R_2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = P_{serie}\Big ({(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)    \((III)\)


Pelo enunciado, tem-se a seguinte relação:

\(\Longrightarrow P_{serie} = {1 \over 4}P_{paralelo} \)    \((IV)\)


Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = {1 \over 4}P_{paralelo} \Big ({(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow 4 = {(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \)

\(\Longrightarrow 4R_1 R_2 = (R_1 + R_2)^2 \)

\(\Longrightarrow 4R_1 R_2 = R_1^2 +2 R_1 R_2+ R_2^2\)

\(\Longrightarrow 0 = R_1^2 -2 R_1 R_2+ R_2^2\)

\(\Longrightarrow 0 = (R_1- R_2)^2\)


Portanto, o valor de \(R_2\) deve ser de:

\(\Longrightarrow R_2 = R_1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ R_2 = 2 \, \mathrm{\Omega} $}\)

Na ligação em série, tem-se uma resistência \(R_1 = 2 \, \mathrm{\Omega}\), uma resistência \(R_2\) desconhecida e uma fonte de tensão \(V\). Portanto, a corrente \(I_{serie}\) que passa pelas resistências é:

\(\Longrightarrow I_{serie} = {V \over R_1+R_2}\)


E a potência dissipada pelas resistências é:

\(\Longrightarrow P_{serie} = R_1\cdot I_{serie}^2+R_2 \cdot I_{serie}^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = (R_1+R_2 )\cdot I_{serie}^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = (R_1+R_2 )\cdot \Big ({V \over R_1+R_2} \Big)^2\)

\(\Longrightarrow P_{serie} = {V^2 \over R_1+R_2}\)


Reescrevendo a equação anterior, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow V^2 = P_{serie}(R_1+R_2)\)    \((I)\)


Na ligação em paralelo, com as mesmas resistências e a mesma fonte, a potência total dissipada pelas resistências é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = {V^2 \over R_1} + {V^2 \over R_2}\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = V^2 \Big ({1 \over R_1} + {1 \over R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = V^2 \Big ({R_1 + R_2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)    \((II)\)


Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = P_{serie}(R_1+R_2)\Big ({R_1 + R_2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = P_{serie}\Big ({(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)    \((III)\)


Pelo enunciado, tem-se a seguinte relação:

\(\Longrightarrow P_{serie} = {1 \over 4}P_{paralelo} \)    \((IV)\)


Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow P_{paralelo} = {1 \over 4}P_{paralelo} \Big ({(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \Big )\)

\(\Longrightarrow 4 = {(R_1 + R_2)^2 \over R_1\cdot R_2} \)

\(\Longrightarrow 4R_1 R_2 = (R_1 + R_2)^2 \)

\(\Longrightarrow 4R_1 R_2 = R_1^2 +2 R_1 R_2+ R_2^2\)

\(\Longrightarrow 0 = R_1^2 -2 R_1 R_2+ R_2^2\)

\(\Longrightarrow 0 = (R_1- R_2)^2\)


Portanto, o valor de \(R_2\) deve ser de:

\(\Longrightarrow R_2 = R_1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ R_2 = 2 \, \mathrm{\Omega} $}\)

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Andre

Há mais de um mês

Re = R1xR2 / R1+R2

4 = 12 x R2 / 12 + R2

4 (12 + R2) = 12 R2

48 + 4 R2 = 12 R2

48 = 12R2 - 4 R2

48 = 8 R2

R2 = 48/8

R2 = 6 Ohm

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas