Considere vetor u=(1,2,3,4) e vetor v=(6,r,-8,2), determine o valor de r tal que vetor u e vetor v sejam ortogonais

O vetor u e v com certeza tem origem coincidente com a origem do plano cartesiano, logo cada projeção representa a sua sombra em cada eixo correto. Use a fórmula do Cossseno do ângulo formado entre eles, Cos = ( u * v )/ l u l * l v l , e tem que dar Cos = 0 para serem Ortogonais ok, Obs. Se ( u * v ) der resultado igual ao 0 vc já sabe que eles são ortogonais valeu, sem ter de precisar achar os seus Módulos ( Comprimentos l u l e l v l  ), o que adianta o cálculo pois o númerador se der valor igual ao zero, logo zero sobre qualquer outro número continuaria a ser zero, a menos 0/0 que é uma situação de indeterminação, mas isso é um outro assunto ok. Nota: Sempre é bom lembra que a operação u * v é diferente da operação de l u l * l v l ok. P.s. Como você quer que eles sejam ortogonais basta igualar a fórmula igual ao valor zero. Ex. 0 =  ( u * v )/ l u l * l v l , aí vc trabalha de forma algébrica que vc consegue achar de boa o valor da projeção ( r ) que é apenas uma das 4 projeções ( sombras ) do vetor v = (6,r,-8,2), valeu amigo! Um abraço!

O produto escalar entre dois vetores ortogonais tem que ser zero.

Assim:

\(u.v=0\\ (1,2,3,4).(6,r,-8,2)=0\\ (1.6)+(2r)+(-24)+(4.2)=0\\ 6+2r-24+8=0\\ -10+2r=0\\ 2r=10\\ r=5\)

Assim

\(\boxed{r=5}\)