utileze a regra da cadeia e determine dz/dt de:

z=tg(x²+y) com x=2t e y=t²

z=tg(x²+y) com x=2t e y=t²

z=tg(2t²+t²)

z=tgu

z'=sec²u

u=2t²+t²

u'=4t+2t

dz/dt=dz/du.du/dt

dz/dt=sec²u(4t+2t)

dz/dt=(4tsec²+2tsec²)(2t²+t²)

dz/dt=6tsec²(2t²+t²)

Pela Regra da Cadeia, a equação de \({dz \over dt}\) é:

\(\Longrightarrow {dz \over dt} = {dz \over dx}{dx \over dt} + {dz \over dy}{dy \over dt}\)   \((I)\)

Pelas dadas funções, as equações de \({dz \over dx}\) e \({dz \over dy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = {d \over dx}\Big [\tan (x^2 + y) \Big ]\\ {dz \over dy} = {d \over dy}\Big [\tan (x^2 + y) \Big ] \end{matrix} \right.\)   \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = \sec^2 (x^2 + y) {d \over dx}(x^2 + y)\\ {dz \over dy} = \sec^2 (x^2 + y) {d \over dy}(x^2 + y) \end{matrix} \right.\)  \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = \sec^2 (x^2 + y) (2x + 0)\\ {dz \over dy} = \sec^2 (x^2 + y) (0 + 1) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = 2x \cdot \sec^2 (x^2 + y) & (II) \\ {dz \over dy} = \sec^2 (x^2 + y) & (III) \end{matrix} \right.\)

E as equações de \({dx \over dt}\) e \({dy \over dt}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = {d \over dt} (2t)\\ {dy \over dt} = {d \over dt} (t^2) \end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = 2 & (IV) \\ {dy \over dt} = 2t & (V) \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações \((II)\), \((III)\), \((IV)\) e \((V)\) na equação \((I)\), o resultado é:

\(\Longrightarrow {dz \over dt} = {dz \over dx}{dx \over dt} + {dz \over dy}{dy \over dt}\)

\(\Longrightarrow {dz \over dt} = \Big [ 2x \cdot \sec^2 (x^2 + y) \Big ](2) + \Big [ \sec^2 (x^2 + y) \Big ](2t)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dz \over dt} = 2(2x+t)\sec^2 (x^2 + y) $}\)