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Apol de Álgebra e Estrutura

Considere a transformação T:R3R3T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0).T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:

I. (   )  TT é uma transformação linear.

II. (   ) O núcleo de TT é N(T)={(0,0,z); zR}N(T)={(0,0,z); z∈R}.

III. (   ) O conjunto imagem de TT satisfaz dim(Im(T))=2.dim(Im(T))=2.

Agora, marque a sequência correta:

A
V, V, V.
B

V, F, V.

C

V, V, F.

D

V, F, F.

E

F, V, V.


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Para encontrarmos a alternativa correta, vamos analisar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & T(u+v)=T(u)+T(v) \\ & T(\lambda u)=\lambda T(u) \\ & t(x,y,z)=(0,0,0) \\ & (x,y,0)=(0,0,0) \\ & x=0 \\ & y=0 \\ & \\ & N(t)=(0,0,z) \\ & \dim(N(T))+\dim(im(T))=im({{R}^{3}}) \\ & 1+\dim(im(T))=3 \\ & im(\operatorname{Im}(T))=2 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.

 

Para encontrarmos a alternativa correta, vamos analisar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & T(u+v)=T(u)+T(v) \\ & T(\lambda u)=\lambda T(u) \\ & t(x,y,z)=(0,0,0) \\ & (x,y,0)=(0,0,0) \\ & x=0 \\ & y=0 \\ & \\ & N(t)=(0,0,z) \\ & \dim(N(T))+\dim(im(T))=im({{R}^{3}}) \\ & 1+\dim(im(T))=3 \\ & im(\operatorname{Im}(T))=2 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.

 

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