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Limite por definição

Mostre pela definição que: lim 1/(1-x)² quando x→1 dando +∞

Cálculo IUFRB

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Consideremos f(x)=1/(1-x)²

Começamos escrevendo a definição para o limite infinito em um caso geral:

Dado ε>0, ∃δ>0 / |x-p|<δ → f(x)>ε 

Logo, temos |x-1|<δ → 1-δ<x<1+δ

Tomando x como 1-δ temos que:

f(x)=1/(1-1+δ)²=1/δ²

e tomando x como 1+δ temos que:

f(x)=1/(1-1-δ)²=1/δ²

Portanto, tomamos ε=1/δ² então temos

Dado ε=1/δ², ∃δ>0 / |x-1|<δ → f(x)>ε.

logo lim 1(1-x) quando x→1 =+∞

 

Consideremos f(x)=1/(1-x)²

Começamos escrevendo a definição para o limite infinito em um caso geral:

Dado ε>0, ∃δ>0 / |x-p|<δ → f(x)>ε 

Logo, temos |x-1|<δ → 1-δ<x<1+δ

Tomando x como 1-δ temos que:

f(x)=1/(1-1+δ)²=1/δ²

e tomando x como 1+δ temos que:

f(x)=1/(1-1-δ)²=1/δ²

Portanto, tomamos ε=1/δ² então temos

Dado ε=1/δ², ∃δ>0 / |x-1|<δ → f(x)>ε.

logo lim 1(1-x) quando x→1 =+∞

 

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Fábio

Há mais de um mês

A definição deste limite é:

∀ M>0 ∃ δ>0 / 0 < |x - 1| < δ => f(x) > M

Para qualquer que seja M positivo, existe em correspondência um delta positivo tal que se tomarmos o módulo da diferença entre x e 1 positivo e menor do que delta, então f(x) = 1/(1-x)² será maior que M.

Você deve sair de f(x) > M e tentar chegar em |x - 1| < δ encontrando uma relação entre M e δ.

|1/(1-x)²| > M

Posso inverter os lados da inequação desde que inverta também o sinal desta inequação, ficando:

|(1-x)²| < 1/M

O (1-x) está sendo elevado ao quadrado, isso indica que qualquer número que der como resultado será um número positivo. Então posso dizer que (1-x)² = (x-1)². Deste modo, temos:

|(x-1)²| < 1/M

Elevando ambos os membros da inequação por 1/2 ela não se altera. Fazemos isso para retirar o qudrado do primeiro membro. Deste modo, temos:

|x-1| < √1/M

Logo, concluimos que se |x-1| < δ então δ = √1/M

Espero que tenha sido claro!

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas