Determine as coordenadas dos pontos da reta s: y=x+1 que distam 2 unidades da reta r: 3x-4y+1=0

Todos os pontos da reta s possuem coordenadas (x,x+1), então podemos usar a fórmula da distancia entre uma reta e um ponto, pra calcular entre a reta r e os pontos de s, sendo essa distancia igual a 2:

d=|ax+by+c|/√(a^2+b^2)

2=|3x-4.(x+1)+1|/√(3²+4²)

2=|3x-4x-4+1|/√(9+16)

2=|-x-3|/5

|-x-3|=10

⇒-x-3=10 ou x+3=10

⇒x=-13 ou x=7

Para achar os pontos basta lembrar que suas coordenadas têm q ser (x, x+1). Logo, os pontos são: (-13, -12 ) e (7, 8).

Podemos escolher um ponto da reta \(r\) e calcular a distância de um ponto \(P=(x,y) \)pertencente a reta s.

vamos escolher o ponto \((-1/3,0)\) que pertece a reta \(r\), veja:

\(r: 3x-4y+1=0\\ 3.\frac{1}{3}-4.0+1=0\\ -1-0+1=0\)

A distância entre o ponto \(P\) e o ponto \((1,1)\) é:

\(d^2=(x+\frac{1}{3})^2+(y-0)^2\\ d=2\\ 4=(x+\frac{1}{3})^2+y^2\\\)

Da reta s sabemos que : \(y=x+1\)

\((x+\frac{1}{3})^2+y^2=4 \:\ \\ (x+\frac{1}{3})^2+(x+1)^2=4 \:\ \\ x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}+x^2+2x+1=4\\ 2x^2+\frac{8x}{3}=\frac{26}9\\ 18x^2+\frac{72x}{3}=26\\ \frac{54x^2+72x}{3}=26\\ 54x^2+72x-78\\ 27x^2+36x-39=0\)

Resolvendo por bhaskara:

\(x_{1,\:2}=\frac{-36\pm \sqrt{36^2-4\cdot \:27\left(-39\right)}}{2\cdot \:27}\\ x=\frac{-36+\sqrt{36^2-4\cdot \:27\left(-39\right)}}{2\cdot \:27}:\quad \frac{\sqrt{17}-2}{3}\\ x=\frac{-36-\sqrt{36^2-4\cdot \:27\left(-39\right)}}{2\cdot \:27}:\quad -\frac{2+\sqrt{17}}{3}\)

Assim , \( y\) é:

\(y=:\quad \frac{\sqrt{17}-2}{3}+1\)

\(y=\quad -\frac{2+\sqrt{17}}{3}+1\)

os pontos são: 

\(\boxed{(\quad \frac{\sqrt{17}-2}{3}; \quad \frac{\sqrt{17}-2}{3}+1)}\)

\(\boxed{(\quad -\frac{2+\sqrt{17}}{3}; \quad -\frac{2+\sqrt{17}}{3}+1)}\)