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Progressão geometrica

Como faz essa questão?

 

46 - Simplifique a expressão:  

1+x+x2+...+xn

________________   , n Є N*   

 1+x2+x4+....+x2n


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, será simplificada a seguinte expressão:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} }\)


O numerador \(1+x+x^2+...+x^n\) é uma progressão geométrica de \(n+1\) termos, seu primeiro termo é \(a_1 = 1\) e sua razão é \(q=x\). Portanto, a soma do numerador é:

\(\Longrightarrow S_{num} = a_1{q^{n+1}-1 \over q-1}\)

\(\Longrightarrow S_{num} = 1\cdot {x^{n+1}-1 \over x-1}\)

\(\Longrightarrow \underline { S_{num} = {x^{n+1}-1 \over x-1} }\)


E o denominador \(1+x^2+x^4+...+x^{2n}\) é uma progressão geométrica de \(n+1\) termos, seu primeiro termo é \(a_1 = 1\) e sua razão é \(q=x^2\). Portanto, a soma do denominador é:

\(\Longrightarrow S_{den} = a_1{q^{n+1}-1 \over q-1}\)

\(\Longrightarrow S_{den} = 1 \cdot {(x^2)^{n+1}-1 \over x^2-1}\)

\(\Longrightarrow S_{den} = {(x^{n+1})^2-1 \over x^2-1}\)

\(\Longrightarrow \underline { S_{den} = {(x^{n+1}-1)(x^{n+1}+1) \over (x-1)(x+1)} }\)


Portanto, a simplificação da expressão é:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {S_{num} \over S_{den} }\)

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {1 \over S_{den} }\cdot S_{num}\)

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = { (x-1)(x+1) \over (x^{n+1}-1)(x^{n+1}+1) } \cdot {x^{n+1}-1 \over x-1}\)


Eliminando os termos repetidos, o resultado final é:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {(x+1) \over (x^{n+1}+1) } \cdot {1 \over1}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {x+1 \over x^{n+1}+1 } $}\)

Neste exercício, será simplificada a seguinte expressão:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} }\)


O numerador \(1+x+x^2+...+x^n\) é uma progressão geométrica de \(n+1\) termos, seu primeiro termo é \(a_1 = 1\) e sua razão é \(q=x\). Portanto, a soma do numerador é:

\(\Longrightarrow S_{num} = a_1{q^{n+1}-1 \over q-1}\)

\(\Longrightarrow S_{num} = 1\cdot {x^{n+1}-1 \over x-1}\)

\(\Longrightarrow \underline { S_{num} = {x^{n+1}-1 \over x-1} }\)


E o denominador \(1+x^2+x^4+...+x^{2n}\) é uma progressão geométrica de \(n+1\) termos, seu primeiro termo é \(a_1 = 1\) e sua razão é \(q=x^2\). Portanto, a soma do denominador é:

\(\Longrightarrow S_{den} = a_1{q^{n+1}-1 \over q-1}\)

\(\Longrightarrow S_{den} = 1 \cdot {(x^2)^{n+1}-1 \over x^2-1}\)

\(\Longrightarrow S_{den} = {(x^{n+1})^2-1 \over x^2-1}\)

\(\Longrightarrow \underline { S_{den} = {(x^{n+1}-1)(x^{n+1}+1) \over (x-1)(x+1)} }\)


Portanto, a simplificação da expressão é:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {S_{num} \over S_{den} }\)

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {1 \over S_{den} }\cdot S_{num}\)

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = { (x-1)(x+1) \over (x^{n+1}-1)(x^{n+1}+1) } \cdot {x^{n+1}-1 \over x-1}\)


Eliminando os termos repetidos, o resultado final é:

\(\Longrightarrow {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {(x+1) \over (x^{n+1}+1) } \cdot {1 \over1}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {1+x+x^2+...+x^n \over 1+x^2+x^4+...+x^{2n} } = {x+1 \over x^{n+1}+1 } $}\)

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Raphael

Há mais de um mês

Olá Douglas,

Seria possível detalhar melhor a questão ? Certamente eu, ou algum dos meus amigos do passeidireto, tentaremos te ajudar.

Uma dica seria dizer a página do livro (juntamente com a edição e o volume), talvez publicar uma foto da questão no Google Drive (Gmail), DropBox (Yahoo!) ou OneDrive (Hotmail).

 

Aguardamos,

Raphael Lima.

 

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Luís Alberto

Há mais de um mês

pode se simplificar usando a formula da soma de n termos duma PG, para a 1ª questao o q=x e o primeiro termo é 1, e na segunda questao o q=x^2 e o primeiro termo é 1, e depois substitui dai pode se fazer as possiveis operacoes. obrigado

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas