vetores

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre álgebra linear para analisar os vetores \(u=(1,2,3)\), \(v=(0,1,1)\) e \(w=(0,0,1)\). A matriz formada por esses vetores está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \\ \end{matrix}\)

Primeiro, é necessário provar que os dados vetores formam uma base do espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\). Primeiro, será realizada a operação \((I)-2(II)\). Com isso, a nova linha \((I)\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \\ \end{matrix}\)

Agora, serão realizadas as operações \((I)-(III)\) e \((II)-(III)\). Com isso, as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \\ \end{matrix}\)

A matriz resultante é formada pelos vetores \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) e \((0,0,1)\), que formam a base mais simples do espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\). Portanto, os vetores \(u\), \(v\) e \(w\) de fato formam uma base do espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\).

Agora, um dado vetor \((1,1,0)\) será representado a partir do espaço vetorial formado pelos vetores \(u=(1,2,3)\), \(v=(0,1,1)\) e \(w=(0,0,1)\). Essa representação pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (1,1,0)=a \cdot u + b \cdot v + c \cdot w\)

Agora, é necessário calcular os valores de \(a\), \(b\) e \(c\).

A partir da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (1,1,0)=a \cdot (1,2,3) + b \cdot (0,1,1) + c \cdot (0,0,1)\)

\(\Longrightarrow (1,1,0)= (a,2a,3a) + (0,b,b) + (0,0,c)\)

A partir da equação anterior, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow\left \{ \begin{matrix} a=1 \\ 2a+b=1 \\ 3a+b+c=0 \\ \end{matrix} \right. \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \\ \end{matrix}\)

Substituindo o valor de \(a\) na equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 2a+b=1\)

\(\Longrightarrow 2\cdot 1+b=1\)

\(\Longrightarrow b=-1\)

Substituindo os valores de \(a\) e \(b\) na equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow 3a+b+c=0\)

\(\Longrightarrow 3\cdot 1-1+c=0\)

\(\Longrightarrow 2+c=0\)

\(\Longrightarrow c=-2\)

Finalmente, substituindo os coeficientes conhecidos na equação \((1,1,0)=a \cdot u + b \cdot v + c \cdot w\), a solução do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ (1,1,0)=u - v -2 w $}\)