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me ajudem problema de derivada

Se um corpo com w kg de peso for arrastado ao longo de um piso horizontal por uma força com f kg de magnitude e segundo uma direção que faz angulo de θ rad com o plano do piso então f será dada pela equação

f= kw/ (k senθ+ cosθ)

onde k é uma constante chamada de coeficiente de atrito e 0<k<1. Se 0<= θ <= π/2 , ache cosθ quando f for minima

Cálculo IPUC-MINAS

1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Partindo da equação dada para a força em função do ângulo \(\theta\), derivamos-a em relação a \(\theta\) e igualamos-a a 0. Esta é a condição para máximo ou mínimo:

\(f(\theta)=\dfrac{kw}{k\sin{\theta}+\cos{\theta}}\)

\(\dfrac{df(\theta)}{d\theta}=\dfrac{-kw\dfrac{d}{d\theta}(k\sin\theta+\cos\theta)}{(k\sin{\theta}+\cos{\theta})^2}=\dfrac{kw(\sin\theta-k\cos\theta)}{(k\sin\theta+\cos\theta)^2}\)

Fazendo \(\dfrac{df(\theta)}{d\theta}=0\), obtemos

\(\dfrac{kw(\sin\theta-k\cos\theta)}{(k\sin\theta+\cos\theta)^2}=0\Rightarrow kw(\sin\theta-k\cos\theta)=0\)

Como os valores de \(k\) e \(w \) nunca são nulos, temos

\(\sin\theta-k\cos\theta=0\)

\(\cos\theta=\dfrac{\sin\theta}{k}\)

 

 

Partindo da equação dada para a força em função do ângulo \(\theta\), derivamos-a em relação a \(\theta\) e igualamos-a a 0. Esta é a condição para máximo ou mínimo:

\(f(\theta)=\dfrac{kw}{k\sin{\theta}+\cos{\theta}}\)

\(\dfrac{df(\theta)}{d\theta}=\dfrac{-kw\dfrac{d}{d\theta}(k\sin\theta+\cos\theta)}{(k\sin{\theta}+\cos{\theta})^2}=\dfrac{kw(\sin\theta-k\cos\theta)}{(k\sin\theta+\cos\theta)^2}\)

Fazendo \(\dfrac{df(\theta)}{d\theta}=0\), obtemos

\(\dfrac{kw(\sin\theta-k\cos\theta)}{(k\sin\theta+\cos\theta)^2}=0\Rightarrow kw(\sin\theta-k\cos\theta)=0\)

Como os valores de \(k\) e \(w \) nunca são nulos, temos

\(\sin\theta-k\cos\theta=0\)

\(\cos\theta=\dfrac{\sin\theta}{k}\)

 

 

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Sebastião

Há mais de um mês

F será minima quando θ for 0, ai ficará KxW / (k senθ ( com θ valendo 0) + cosθ (valendo 0) 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas