Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f(x)=8/(x-2)*1/2 no ponto (x,y) = (3,2).

Olá, tudo bem?

Primeiramente precismaos de alguns conceitos para conseguir resolver esse exercício. Vamos lá:

1- A equação da reta:

(Y-y) = m*(X-x)    , onde y e x (minusculos) são as coordenadas do ponto dado. 

2- O coeficiente angular m, da reta tangente, pode ser encontrado através da derivada da equação dada, ou seja:

m = f'(x)

3- Utilizamos o simbolo * como multiplicação, e o símbolo ^ para potência.

Agora podemos começar a solucionar o problema. Daremos partida calculando a derivada de f.

¨ Reescrevemos a f(x) para facilitar o calculo da f'(x):

f(x) = 8/(x-2)^1/2  , isso é igual a:   f(x) = 8*(x-2)^-1/2

¨ A derivada ficará:

f'(x) = (-1/2)*8*(x-2)^(-1/2)-1

f'(x) = -4*(x-2)^-3/2

f'(x) = -4/(x-2)^3/2

¨ Agora aplicamos o valor de x (minusculo), que é a coordenada x do ponto dado, isso para encontrar o valor da f'(x), que por sua vez é a representante do coeficiente angular (m). 

m = f'(x) = -4/(3-2)^3/2

m = f'(x) = -4

m = -4

¨ Nesse momento já encontramos a derivada de f, e portanto o valor de m. O próximo passo é substituir o valor de m=-4 e do ponto dado P(3,2), na equação da reta tangente à f(x) no ponto P.

Equação da reta:   (Y-y) = m*(X-x)  , vai ficar:

Y-2 = -4*(X-3)

Y-2 = -4X+12

Y = -4X +14

¨ Essa última equação Y=-4X+14 , é a equação geral da reta tangente a f(x)=8/(x-2)^1/2  no ponto P(3,2)

Acredito que seja isso!

Caso necessite de alguma ajuda maior dá uma olhada no meu material, tenho alguns livros de calculo 1, cheios de demonstrações, exemplos e exercícios resolvidos. 

Bons Estudos!

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