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Calcule a integral dulpa da função f(x,y)= x +y?

 

Calcule a integral dulpa da função f(x,y)= x +y no dominio da integração D definido por D= {y= 2x, y= x², 0≤ x ≤ 2 }.
Cálculo IIIPITÁGORAS

3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Seja:

\(\int _0^2\:\int _{2x}^{x^2}\:x+ydydx\)

Vamos integrar primeiro em relação a y:

\(\int _{2x}^{x^2}\:x+y\:dy=xy+\frac{y^2}{2}\\ xy+\frac{y^2}{2}]_{2x}^{x^2}= [x.x^2+\frac{(x^2)^2}{2}]-[x.2x+\frac{(2x)^2}{2}]\\ [x.x^2+\frac{(x^2)^2}{2}]-[x.2x+\frac{(2x)^2}{2}]= [x^3+\frac{(x^4)}{2}]-[2x^2+\frac{(4x^2)}{2}]\\ [x^3+\frac{(x^4)}{2}]-[2x^2+\frac{(4x^2)}{2}]=\frac{(2x^3+x^4)}{2}-4x^2\\ \frac{(2x^3+x^4)}{2}-4x^2=\frac{(2x^3+x^4-8x^2)}{2}\)

Agora integrando em relação a x:

\(\int _0^2\:\frac{\left(2x^3+x^4-8x^2\right)}{2}dx\\ \frac{1}{2}\cdot \int (\:2x^3+x^4-8x^2)dx\\ \frac{1}{2}\left(\int \:2x^3dx+\int \:x^4dx-\int \:8x^2dx\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}\right)_0^2=\frac{1}{2}\left(\frac{0^4}{2}+\frac{0^5}{5}-\frac{8\cdot \:0^3}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2^4}{2}+\frac{2^5}{5}-\frac{8\cdot \:2^3}{3}\right)\\ =-\frac{52}{15}-0=-\frac{52}{15}\)

Assim:

\(\boxed{\int _0^2\:\int _{2x}^{x^2}\:x+ydydx=​​-\frac{52}{15}}\)

Seja:

\(\int _0^2\:\int _{2x}^{x^2}\:x+ydydx\)

Vamos integrar primeiro em relação a y:

\(\int _{2x}^{x^2}\:x+y\:dy=xy+\frac{y^2}{2}\\ xy+\frac{y^2}{2}]_{2x}^{x^2}= [x.x^2+\frac{(x^2)^2}{2}]-[x.2x+\frac{(2x)^2}{2}]\\ [x.x^2+\frac{(x^2)^2}{2}]-[x.2x+\frac{(2x)^2}{2}]= [x^3+\frac{(x^4)}{2}]-[2x^2+\frac{(4x^2)}{2}]\\ [x^3+\frac{(x^4)}{2}]-[2x^2+\frac{(4x^2)}{2}]=\frac{(2x^3+x^4)}{2}-4x^2\\ \frac{(2x^3+x^4)}{2}-4x^2=\frac{(2x^3+x^4-8x^2)}{2}\)

Agora integrando em relação a x:

\(\int _0^2\:\frac{\left(2x^3+x^4-8x^2\right)}{2}dx\\ \frac{1}{2}\cdot \int (\:2x^3+x^4-8x^2)dx\\ \frac{1}{2}\left(\int \:2x^3dx+\int \:x^4dx-\int \:8x^2dx\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}\right)_0^2=\frac{1}{2}\left(\frac{0^4}{2}+\frac{0^5}{5}-\frac{8\cdot \:0^3}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2^4}{2}+\frac{2^5}{5}-\frac{8\cdot \:2^3}{3}\right)\\ =-\frac{52}{15}-0=-\frac{52}{15}\)

Assim:

\(\boxed{\int _0^2\:\int _{2x}^{x^2}\:x+ydydx=​​-\frac{52}{15}}\)

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Letícia Gabriela

Há mais de um mês

se você colocar o domínio de y no wolfram vai ver que a função x^2 fica "embaixo" da 2x, então o domínio de y será de x^2 ≤ y ≤ 2x, e o de x será o que já está no enunciado. integrando:

∫∫d  x + y dydx 

a partir daqui é fácil, é só integrar primeiro em y (sempre tratando x como uma constante), aplicar os intervalos e dps calcular em x. 

 

Link do gráfico no wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2C+x%5E2

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Leonardo

Há mais de um mês

Certíssimo Letícia, tinha enxergado uma inequação aonde não tinha.

Y=x^2 é uma parábola com concavidade para cima, e 2x é uma linha em diagonal (função do primeiro grau positiva). Como você bem disse, traçando uma linha vertical, esta linha cruza primeiro x^2, logo a inequação é: (x^2 ≤ y ≤ 2x).

Integrando em dy:

∫ x+y dy = xy+y2/2| {x2 ≤y ≤ 2x}

=[ [x(x2) + (x2/2)2]- [x(2x) + (2x/2)2] = x3 + (x4/2) - 4x2

Agora a segunda integral, em dx.

∫ x3 + (x4/2) - 4x2 dx = (x4/4)+(x5/10)-(4x3/3) | {0≤ x ≤ 2}

=4+ (16/5) – (32/3) = |-52/15|

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Leonardo

Há mais de um mês

Olá!

Eu fiz da seguinte maneira:

∫∫d x+y dx dy D= {y= 2x, y= x², 0≤ x ≤ 2}

Primeiro integrei em dy:

∫ x+y dy = xy+y2 | {y=2x a x2}

=[x(2x) + (2x)2]-[x(x2) + (x2)2] = 6x2-x3-x4

Agora a segunda integral, em dx.

∫ 6x2-x3-x4 dx = 2x3-(x4/4)-(x5/5) | {0≤ x ≤ 2}

=16 - 4 - 6,4 = 5,6

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas