se você colocar o domínio de y no wolfram vai ver que a função x^2 fica "embaixo" da 2x, então o domínio de y será de x^2 ≤ y ≤ 2x, e o de x será o que já está no enunciado. integrando:

∫∫_{d  x + y dydx} 

a partir daqui é fácil, é só integrar primeiro em y (sempre tratando x como uma constante), aplicar os intervalos e dps calcular em x. 

Link do gráfico no wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2C+x%5E2

Olá!

Eu fiz da seguinte maneira:

∫∫_d x+y dx dy D= {y= 2x, y= x², 0≤ x ≤ 2}

Primeiro integrei em dy:

∫ x+y dy = xy+y² | {y=2x a x²}

=[x(2x) + (2x)²]-[x(x²) + (x²)²] = 6x²-x³-x⁴

Agora a segunda integral, em dx.

∫ 6x²-x³-x⁴ dx = 2x³-(x⁴/4)-(x⁵/5) | {0≤ x ≤ 2}

=16 - 4 - 6,4 = 5,6

Certíssimo Letícia, tinha enxergado uma inequação aonde não tinha.

Y=x^2 é uma parábola com concavidade para cima, e 2x é uma linha em diagonal (função do primeiro grau positiva). Como você bem disse, traçando uma linha vertical, esta linha cruza primeiro x^2, logo a inequação é: (x^2 ≤ y ≤ 2x).

Integrando em dy:

∫ x+y dy = xy+y²/2| {x² ≤y ≤ 2x}

=[ [x(x²) + (x²/2)²]- [x(2x) + (2x/2)²] = x³ + (x⁴/2) - 4x²

Agora a segunda integral, em dx.

∫ x³ + (x⁴/2) - 4x² dx = (x⁴/4)+(x⁵/10)-(4x³/3) | {0≤ x ≤ 2}

=4+ (16/5) – (32/3) = |-52/15|