Uma caixa retangular e sem tampa tem volume de 32 pés cúbicos. Qual devem ser as dimensões de modo que a superfície total seja mínima?

Digamos que a caixa tenha dimensões x, y e z. Portanto, o seu volume é dado por V=xyz.
Colocando a caixa em um plano, observamos que a área de sua base é dada por yz. Duas das quatro áreas laterais são expressas por xz e as restantes por xy. Logo, a área total é dada por A=yz+2xz+2xy. Sabendo que o volume deve ser de 32 pés cúbicos, podemos dizer que z=32/xy. Substituindo esse z na fórmula da área:

A(x,y)= (32/x)+(64/y)+2xy

Aplicando derivadas parciais em respeito a x e y, igualamos a zero para descobrirmos os menores valores para x e y:

dA/dx = 0 = 2y - 32/x^2
dA/dy = 0 = 2x - 64/y^2

Portanto,

x=2, y=4 e z=4.

Para resolver esse exercício precisamos saber o Teste da Primeira Derivada, o qual diz:

Seja  \(c\)  um ponto crítico: 

a) Se \(f’(x) > 0\) para todo \(x < c\) e \(f’(x) < 0\) para todo \( x > c\), então f(c) é o valor máximo absoluto (global) de \(f\).

b) Se \(f’(x) < 0 \)para todo \(x < c\) e \(f’(x) > 0\) para todo \(x > c\), então f(c) é o valor mínimo absoluto (global) de \(f\).

Além disso, devemos conhecer algumas fórmulas:

A área total de um caixa retangular sem tampa é dada por :

\(A(x,y,z) = (x .y + 2y .z + 2x .z)\)    \((I)\)

O volume de um cilindro é dado por:

\(V = x.y.z  \)                     \( (II)\)

Vamos substituir o volume dado no enunciado na equação \( (II)\) e então isolar a variável z para substituí-la na equação \((I)\):\(V = x.y.z \\ 32= x.y.z    \\ z=\frac{32}{xy}\)

Substituindo em \((I)\):

\(A(x,y,z) =x .y + 2y .z +2 x .z\\ A(x,y,z) = x .y + 2y .\frac{32}{xy} + 2x .\frac{32}{xy}) \\ A(x,y,z) = xy+ .\frac{64}{x}  + \frac{64}{y}) \\ A(x,y,z) = x y + \frac{64}{x}  +\frac{64}{y}) \)

Vamos então encontrar o ponto critico dessa equação, derivando em relação a \(x\) e depois em relação a \(y\) e igualando a zero:

\(\frac{dA}{dx} = y - \frac{64}{x^2}=0 \rightarrow x^2y=64 \)   \(eq 1\)

\(\frac{dA}{dy} = y - \frac{64}{y^2}=0 \rightarrow y^2x=64 \)    \(eq2\)

Isolando o y na equação \(1\), temos:

\(y=\frac{64}{x^2}\)

Substituindo na equação \(2\):

\( y^2x=64 \\ (\frac{64}{x^2})^2x=64\\ x^3=64\\ x=4\)

Substituindo em \(y=\frac{64}{x^2}\)

\(y=\frac{64}{x^2}\\ y=\frac{64}{16}\\ y=4\)

substituindo em \(z=\frac{32}{xy}\):

\(z=\frac{32}{xy}\\ z=\frac{32}{4.4}\\ z=2\)

Portanto, as dimensões da caixa são :

\(\boxed{x=4 }\\ \boxed{y=4}\\ \boxed{ z=4}\)