Vamos encontrar a equação da circunferência que passa por três pontos  ,  e  , utilizando nosso conhecimento em equação reduzida da circunferência, dada abaixo, e sistema de equações.

Para o ponto  , aplicaremos  e  na equação reduzida da circunferência. Assim:

(I)

Agora, para o ponto  , aplicaremos  e na equação reduzida da circunferência. Assim:

 (II)

E, por último, para o ponto  , aplicaremos  e na equação reduzida da circunferência. Assim:

 (III)

Para encontrar  , podemos igualar as equações  e  . Assim:

Para encontrar  , podemos igualar as equações  e  . Assim:

E, para encontrar  , vamos substituir os valores de   e   na equação  . Assim:

De onde  .

Por último, aplicando os valores de  ,   e  na equação reduzida da circunferência, temos:

Portanto, a equação da circunferência que passa pelos pontos  ,  e  é representada por  .

A equação de uma circunferência de centro (x₀, y₀) e raio R é 

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²

Como A, B e D pertencem a circunferencia, temos:

(6 - x₀)² + (2 - y₀)² = R² ==> 36 - 12x₀ + x₀² + 4 - 4y₀ + y₀² = R²                                                                     (1)
(4 - x₀)² + (0 - y₀)² = R² ==> 16 - 8x₀ + x₀² + y₀² = R²                                                                          (2)
(10 - x₀)² + (4 - y₀)² = R² ==> 100 - 20x₀ + x₀² + 16 - 8y₀ + y₀² = R²                                                              (3)

Pelas equações (1) e (2) temos

36 - 12x₀ + x₀² + 4 - 4y₀ + y₀² = 16 - 8x₀ + x₀² + y₀²   ==>  4x₀ + 4y₀ = 24 ==>  2x₀ + 2y₀ = 12                  (4)

Pelas equações (2) e (3) temos

16 - 8x₀ + x₀² + y₀² = 100 - 20x₀ + x₀² + 16 - 8y₀ + y₀²   ==>  12x₀ + 8y₀ = 100 ==>  3x₀ + 2y₀ = 25           (5)

Subtraindo (4) de (5) encontramos x₀ = 13 e, substituindo em (4), obtemos y₀ = -7

Usaremos esses valores na equação (2) para determinar o raio R:

R² = 16 - 8x₀ + x₀² + y₀² = 16 - 8*13 + 13² + ( -7)² = 130

Assim, a equação da circunferência é (x - 13)² + (y - (-7))² = 130, isto é,

(x - 13)² + (y + 7)² = 130
             

Vamos encontrar a equação da circunferência que passa por três pontos , e , utilizando nosso conhecimento em equação reduzida da circunferência, dada abaixo, e sistema de equações.

Para o ponto , aplicaremos e na equação reduzida da circunferência. Assim:

(I)

Agora, para o ponto , aplicaremos ena equação reduzida da circunferência. Assim:

(II)

E, por último, para o ponto , aplicaremos ena equação reduzida da circunferência. Assim:

(III)

Para encontrar , podemos igualar as equações e . Assim:

Para encontrar , podemos igualar as equações e . Assim:

E, para encontrar , vamos substituir os valores de e na equação . Assim:

De onde .

Por último, aplicando os valores de , e na equação reduzida da circunferência, temos:

Portanto, a equação da circunferência que passa pelos pontos , e é representada por .