a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer (x,y) sobre uma curva é (10-4x) e o ponto ( 1, -1), está na curva. Encontre uma equação da curva.

A inclinação da reta tangente de uma curva é igual a derivada da curva. É preciso integrar a derivada pra encontrar a equação da curva.

Então:

df(x)/dx = 10 -4x

∫(10 -4x)dx

f(x)=10x -4x²/2 + C

f(x)=10x -2x² + C = y

Substituindo o ponto (1,-1):

10.1 -2.1² +1 = -C

-C= 9 ⇒ C=-9

Então a equação da curva é: y=10x -2x² -9

Primeiramente encontraremos o coeficiente angular:

\(\begin{align} & y'=10-4x \\ & y'(1)=10-4(1) \\ & y'(1)=6 \\ \end{align}\)

Agora calcularemos a equação da reta:

\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'(x-{{x}_{0}}) \\ & y-(-1)=6(x-1) \\ & y+1=6x-6 \\ & y=6x-6-1 \\ & y=6x-7 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a equação da curva será \(\boxed{y = 6x - 7}\).