5. Dados os vetores v=(4,5,3) e u=(2,1,-2) determinar dois vetores v1 e v2 tais que v1+v2=v com v1 paralelo u e v2 ortogonal a u. Quest.: 5 v

acompanhando

Seja \(V1=(a,b,c) \)e \(V2=(d,e,f)\)

Para que o vetor \(V1\) seja paralelo ao vetor \(U\), a seguinte condição deve ser satisfeita:

\(V1=kU\) , onde \(K\) é um escalar não nulo.

Assim:

\((a,b,c)=k(2,1,-2)\)

\(a=2k \) Equação \(1\) 

\(b=k\)   Equação \(2\)

\(c=-2k\)  Equação \(3\)

Para que o vetor \(V2\) seja ortogonal a \(U\), o produto escalar entre os dois deve ser zero. Assim:

\(V2.U=0\)

\((d,e,f).(2,1,-2)=0\)

\(2d+e-2f=0\)   Equação \(4\)

Como \(v1+v2=v\), temos:

\((a,b,c) + (d,e,f)=(4,5,3)\)

\(a+d=4\)  Equação \(5\) 

\(b+e=5\)   Equação \(6\)

\(c+f=3   \) Equação \(7\)

Substituindo as Equações \(1\), \(2\) e \(3\) nas equações \(5\), \(6\) e \(7\) respectivamente, temos: 

\(2k+d= 4   \rightarrow d=4-2k\)  Equação \(8\)

\(k+e=5     \rightarrow  e= 5-k\)  Equação \(9\)

\(-2k+f= 3  \rightarrow f= 3+2k\)  Equação \(10\)

Substituindo as equações \(8\),\(9\) e \(10\) na equação \(4\):

\(2d+e-2f=0\)

\(2(4-2k)+(5-k)-2(3+2k)=0\)

\(8-4k+5-k-6-2k=0\)

\(7-7k=0\rightarrow k=1\)

Assim, das equações \(1\), \(2\) e \(3\) temos que \(a=2\), \(b=1, c= -2\) e portanto o vetor \(\boxed{V1= (2,1,-2)}\)

Das equações \(8\),\(9\) e \(10\) temos: \(d= 2; e=4; f=5\) e portanto o vetor \(\boxed{V2= (2,4,5)}\)