Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.

Sendo r(t) a curva da posição, velocidade é dada pela 1ª derivdada, enquanto a aceleração é dada pela 2ª derivada. v=dr/dt  a=dv/dt

r(t) = (cost, sent, t²)

v=r'(t) = (-sent, cost, 2t)

a=r''(t) = (-cost, -sent, 2)

Acho que você quer saber a aceleração no ponto Π/2, certo?

a= (-cos(Π/2), -sen(Π/2), 2) = (0,-1,2)

Neste exercício, será calculada a aceleração de uma dada curva em \(t={\pi \over 2}\). Essa dada função é:

\(\Longrightarrow r(t)=(\cos t,\sin t,t^2)\)

Sendo \(r(t)\) a curva de posição, pode-se obter a curva de aceleração \(a(t)\) da seguinte forma:

\(\Longrightarrow a(t)={d^2 \over dt^2}r(t)\)

Portanto, a função \(a(t)\) é:

\(\Longrightarrow a(t)={d^2 \over dt^2}(\cos t,\sin t,t^2)\)

\(\Longrightarrow a(t)={d \over dt}(-\sin t,\cos t,2t)\)

\(\Longrightarrow a(t)=(-\cos t,-\sin t,2)\)

A partir de \(a(t)\), pode-se determinar a aceleração escalar \(||a(t)||\) da seguinte forma:

\(\Longrightarrow ||a(t)||=||(-\cos t,-\sin t,2)||\)

\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { (-\cos t)^2 + (-\sin t)^2 + 2^2}\)

\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { \cos^2 t + \sin^2 t + 2^2}\)

Sabendo que \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\), a aceleração \(||a(t)||\) é:

\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt { 1 + 4}\)

\(\Longrightarrow ||a(t)||=\sqrt {5}\)

Pela equação anterior, pode-se perceber que \(||a(t)||\) é independente do valor de \(t\). Portanto, para \(t={\pi \over 2}\), a aceleração da curva \(r(t)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ ||a(t)||=\sqrt {5} $}\)