Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor v = 4i + 2j - 5k

Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor v = 4i + 2j - 5k

Como o vetor deve se paralelo podemos dizer que é colinear de mesma reta portanto precisamos descobrir o vetor unitario do vetor v para multiplicamos pelo modulo 10:

u = (4i,2j,-5k)/√((4)²+(2)²+(-5)²)
u = (4i,2j,-5k)/√(16+4+25)
u = (4i,2j,-5k)/√(45)

como o vetor é colinear e com isso pode assumir tanto o mesmo sentido de v quando oposto a v dessa formo colocaremos +- para representa os sentidos possiveis

10u = +-10(4i,2j,-5k)/√45

10u = +-40i/√45 +-20j/√45 +-50k/√45

Vamos chamar de \(\overrightarrow u\) o vetor de módulo \(|\overrightarrow u|=10\)  que deve ser determinado. Como ele é paralelo a \(\overrightarrow v=4i+2j+(-5)k\), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow {\overrightarrow u \over |\overrightarrow u|} = {\overrightarrow v \over |\overrightarrow v|}\)    \((I)\)

O módulo de \(\overrightarrow v\) é:

\(\Longrightarrow |\overrightarrow v| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}\)

\(\Longrightarrow |\overrightarrow v| =\sqrt{16+4+25}\)

\(\Longrightarrow |\overrightarrow v| =\sqrt{45}\)

Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), o vetor \(\overrightarrow u\) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow u = {|\overrightarrow u| \over |\overrightarrow v|}\overrightarrow v\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow u = {10 \over \sqrt{45}}(4i+2j+(-5)k)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \overrightarrow u =5,96i+2,98j-7,45k $}\)