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Série de Pagamentos

Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence de hoje a 3 meses, e as demais sequencialmente.

A taxa de juros contratada para a operação é de 27% a.a. Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo.

R.: PMT1 = $3.091,80, PMT2 = $ 3.462,80, PMT3 = $ 3.833,80 e PMT4 = $ 4.204,80


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para resolver esse problema, devemos aplicar o conceito de Valor Presente Líquido (VPL), que trata-se de uma expressão da matemática financeira empregada para o cálculo do valor presente de diversos pagamentos em data futura descontando a taxa de custo de capital previamente estipulada. Para o seu cálculo, será utilizada a seguinte equação:

\(VPL =\displaystyle\sum_{t=0}^{n} \dfrac{FC_t}{(1+i)^t},\)

em que \(VPL \) é o valor presente líquido; \(t\) o período; \(n\) o número total de períodos; \(i\) a taxa de custo de capital e \(FC_t\) o fluxo de caixa no período \(t\).

No problema em questão, a taxa de juros contrata é de \(27 \text{ % a.a}\), porém, as parcelas são trimestrais e, por essa razão, é necessário calcular a taxa de juros trimestral equivalente a de \(27 \text{ % a.a}\). Neste contexto, tem-se que:

\(\begin{align} i_{eq}&=(1+i_{\text{anual}})^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=(1+0,27)^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=(1,27)^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=0,0616 \text { a.t} \end{align}\)

Dessa maneira, substituindo os valores fornecidos pelo problema, considerando as parcelas com variação linear crescente de \(12 \text{ %}\) e impondo que o valor presente líquido é igual a \(0\), resulta que:

\(\begin{align} 0 & = \dfrac{- \text{R}$\text{ } 12.500,00}{(1+0,0616)^0}+\dfrac{FC_1}{(1+0,0616)^1}+\dfrac{FC_1\cdot1,12}{(1+0,0616)^2}+\dfrac{ FC_1\cdot1,24}{(1+0,616)^3}+\dfrac{FC_1\cdot1,36}{(1+0,0616)^4} \\ & = \dfrac{- \text{R}$\text{ } 12.500,00}{(1,0616)^0}+\dfrac{FC_1}{(1,0616)^1}+\dfrac{FC_1\cdot1,12}{(1,0616)^2}+\dfrac{ FC_1\cdot1,24}{(1,0616)^3}+\dfrac{FC_1\cdot1,36}{(1,0616)^4} \\ & = - \text{R}$\text{ } 12.500,00 +0,9420\cdot FC_1+ 0,9938 \cdot FC_1 + 1,0364 \cdot FC_1 + 1,0708 \cdot FC_1 \\ & = - \text{R}$\text{ } 12.500,00 +4,043 \cdot FC_1 \\ \end{align}\)

Isolando \(FC_1\) e realizando os cálculos, encontra-se o valor da parcela referente ao \(1°\) trimestre:

\(\begin{align} FC_1&=\dfrac{\text{R}$ \text{ } 12.500,00}{4,043} \\&\approx\text{R}$ \text{ } 3.091.80 \end{align} \)

Por fim, para obter o valor das demais parcelas, basta aplicar a variação linear crescente de \(12 \text{ %}\) a cada parcela:

\(\begin{align} FC_2&=1,12\cdot FC_1 \\&=1,12\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx3.462,90 \\ \\FC_3&=1,24\cdot FC_1 \\&=1,24\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx3.833,80 \\ \\FC_4&=1,36\cdot FC_1 \\&=1,36\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx4.204,80 \\ \end{align}\)

Portanto, os valores dos pagamentos do empréstimo são \(\boxed{FC_1= \text{R}$ \text{ }3.091,80}\)\(\boxed{FC_2= \text{R}$ \text{ }3.462,90}\)\(\boxed{FC_3= \text{R}$ \text{ }3.833,80}\) e \(\boxed{FC_4= \text{R}$ \text{ }4.204,80}\).

Para resolver esse problema, devemos aplicar o conceito de Valor Presente Líquido (VPL), que trata-se de uma expressão da matemática financeira empregada para o cálculo do valor presente de diversos pagamentos em data futura descontando a taxa de custo de capital previamente estipulada. Para o seu cálculo, será utilizada a seguinte equação:

\(VPL =\displaystyle\sum_{t=0}^{n} \dfrac{FC_t}{(1+i)^t},\)

em que \(VPL \) é o valor presente líquido; \(t\) o período; \(n\) o número total de períodos; \(i\) a taxa de custo de capital e \(FC_t\) o fluxo de caixa no período \(t\).

No problema em questão, a taxa de juros contrata é de \(27 \text{ % a.a}\), porém, as parcelas são trimestrais e, por essa razão, é necessário calcular a taxa de juros trimestral equivalente a de \(27 \text{ % a.a}\). Neste contexto, tem-se que:

\(\begin{align} i_{eq}&=(1+i_{\text{anual}})^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=(1+0,27)^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=(1,27)^{\frac{1 \text{ ano}}{4 \frac{\text{trimestres}}{\text{ano}}}}-1 \\&=0,0616 \text { a.t} \end{align}\)

Dessa maneira, substituindo os valores fornecidos pelo problema, considerando as parcelas com variação linear crescente de \(12 \text{ %}\) e impondo que o valor presente líquido é igual a \(0\), resulta que:

\(\begin{align} 0 & = \dfrac{- \text{R}$\text{ } 12.500,00}{(1+0,0616)^0}+\dfrac{FC_1}{(1+0,0616)^1}+\dfrac{FC_1\cdot1,12}{(1+0,0616)^2}+\dfrac{ FC_1\cdot1,24}{(1+0,616)^3}+\dfrac{FC_1\cdot1,36}{(1+0,0616)^4} \\ & = \dfrac{- \text{R}$\text{ } 12.500,00}{(1,0616)^0}+\dfrac{FC_1}{(1,0616)^1}+\dfrac{FC_1\cdot1,12}{(1,0616)^2}+\dfrac{ FC_1\cdot1,24}{(1,0616)^3}+\dfrac{FC_1\cdot1,36}{(1,0616)^4} \\ & = - \text{R}$\text{ } 12.500,00 +0,9420\cdot FC_1+ 0,9938 \cdot FC_1 + 1,0364 \cdot FC_1 + 1,0708 \cdot FC_1 \\ & = - \text{R}$\text{ } 12.500,00 +4,043 \cdot FC_1 \\ \end{align}\)

Isolando \(FC_1\) e realizando os cálculos, encontra-se o valor da parcela referente ao \(1°\) trimestre:

\(\begin{align} FC_1&=\dfrac{\text{R}$ \text{ } 12.500,00}{4,043} \\&\approx\text{R}$ \text{ } 3.091.80 \end{align} \)

Por fim, para obter o valor das demais parcelas, basta aplicar a variação linear crescente de \(12 \text{ %}\) a cada parcela:

\(\begin{align} FC_2&=1,12\cdot FC_1 \\&=1,12\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx3.462,90 \\ \\FC_3&=1,24\cdot FC_1 \\&=1,24\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx3.833,80 \\ \\FC_4&=1,36\cdot FC_1 \\&=1,36\cdot \text{R}$ \text{ } 3.091,80 \\&\approx4.204,80 \\ \end{align}\)

Portanto, os valores dos pagamentos do empréstimo são \(\boxed{FC_1= \text{R}$ \text{ }3.091,80}\)\(\boxed{FC_2= \text{R}$ \text{ }3.462,90}\)\(\boxed{FC_3= \text{R}$ \text{ }3.833,80}\) e \(\boxed{FC_4= \text{R}$ \text{ }4.204,80}\).

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Walter Junior

Há mais de um mês

Talita, eu fiz da seguinte forma:

Razão (R) = 0,12 (12%)

a1 = PMT  a2 = a1 (1 + R) = PMT (1,012)  a3 = a1 (1 + 2R) = PMT (1,24)  a4 = a1 (1 + 3R) = PMT (1,36)

ajustei a taxa para trimestral: it = [(1 + ia)^1/4 - 1] x 100 -> -> it = [(1 + 0,27]^1/4 - 1]x100

it = [1,061576 - 1] x 100 -> -> it = 6,157561% a.t

agora os cálculos:

12500 = PMT/1,061576 + 1,12PMT/1,061576^2 + 1,24PMT/1,061576^3 + 1,36PMT/1,061576^4

Resolvendo você encontrará:

12500 = 0,941996PMT + 0,993839PMT + 1,036498PMT + 1,070865PMT

12500 = 4,043198PMT -> PMT = 12500/4,043198 -> PMT = 3091,61

Logo, é só substituir na progressão:

a1 = PMT1 = 3.091,61

a2 = PMT2 = 3.091,61 x 1,12 = 3.462,60

a3 = PMT3 = 3.091,61 x 1,24 = 3.833,60

a4 = PMT4 = 3.091,61 x 1,36 = 4.204,59

A diferença nos centavos pode ser porque não arrendondei as casas decimais, trabalhei com 6 casa após a vírgula. Espero ter ajudado.

 

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Tali Ta

Há mais de um mês

Walter, vc sempre me salvando hein! poxa tentei essa hoje o dia todo e não consegui hahaha
Muiiiito obrigada =))

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Walter Junior

Há mais de um mês

Por nada Talita! Bons estudos.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas