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Calculo

Qual a resolução da Derivada parcial em relação a x de f(x,y)=sen3xcos2y?

Cálculo I

UNICEUMA


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Como estamos derivando em relação a x, o y será tratado como uma constante.

Assim, seja:

\(\frac{d}{dx}\left(\ sen \left(3x\right)\cos \left(2y\right)\right)\)

Podemos tirar o cos(2y) para fora da derivada uma vez que é uma constante:

\(\cos \left(2y\right)\frac{d}{dx}\left(\ sen \left(3x\right)\right)\)

Vamos aplicar a regra da cadeia \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) , com \(f=\ sen \left(u\right),\:\:u=3x\):

\(\cos \left(2y\right)\frac{d}{du}\left(\ sen \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(3x\right)\)

Mas:

\(\frac{d}{du}\left(\ sen \left(u\right)\right)=\cos \left(u\right)\\ \frac{d}{dx}\left(3x\right)=3\)

Temos:

\(\cos \left(2y\right)\cos \left(u\right)\cdot \:3\)

Voltando com \(f=\ sen \left(u\right),\:\:u=3x\)

\(\cos \left(2y\right)\cos \left(3x\right)\cdot \:3\)

Portanto:

\(\boxed{​​​​\frac{d}{dx}\left(sen\left(3x\right)cos2y\right)=\cos \left(2y\right)\cos \left(3x\right)\cdot \:3}\)

Como estamos derivando em relação a x, o y será tratado como uma constante.

Assim, seja:

\(\frac{d}{dx}\left(\ sen \left(3x\right)\cos \left(2y\right)\right)\)

Podemos tirar o cos(2y) para fora da derivada uma vez que é uma constante:

\(\cos \left(2y\right)\frac{d}{dx}\left(\ sen \left(3x\right)\right)\)

Vamos aplicar a regra da cadeia \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) , com \(f=\ sen \left(u\right),\:\:u=3x\):

\(\cos \left(2y\right)\frac{d}{du}\left(\ sen \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(3x\right)\)

Mas:

\(\frac{d}{du}\left(\ sen \left(u\right)\right)=\cos \left(u\right)\\ \frac{d}{dx}\left(3x\right)=3\)

Temos:

\(\cos \left(2y\right)\cos \left(u\right)\cdot \:3\)

Voltando com \(f=\ sen \left(u\right),\:\:u=3x\)

\(\cos \left(2y\right)\cos \left(3x\right)\cdot \:3\)

Portanto:

\(\boxed{​​​​\frac{d}{dx}\left(sen\left(3x\right)cos2y\right)=\cos \left(2y\right)\cos \left(3x\right)\cdot \:3}\)

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Andre Sales

Há mais de um mês

EDITADO - Para derivadas parciais, só usamos a variavel em questao, assim derivando em relação a X

d/dx [f(x,y)=sen3xcos2y] => cos2y*d/dx [f(x,y)=sen3x] => fazemos a regra da cadeia, derivamos primeiro a função interna 3x => 3 e depois derivamos a função externa sen 3x => cos 3x

Juntando tudo:

d/dx [f(x,y)=sen3xcos2y] => cos2y*d/dx [f(x,y)=sen3x] => cos2y*3*cos3x => 3cos3xcos2y

 

Abraços

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Leonardo

Há mais de um mês

f(x,y)=sen3xcos2y

fx = 3cos3xcos2y

fy = -2sen3xsen2y

fxy = -6cos3xsen2y

fyx = -6cos3xsen2y

Percebe-se que fxy = fyx. Essa é a regra de Clairaut.

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Luan

Há mais de um mês

A solução é:

d/dx[f(x,y)=sen3xcos2y]=3cos3xcos2y

 

Você trocou cos por sen no final da resposta!

xD

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas