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Encontre a diferencial da função: y = x² sen 2x

Cálculo IPUC-RIO

1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Para encontrarmos a derivada dessa função devemos utilizar a Regra do Produto, que é definida como mostrado abaixo:

\(\frac{d}{x}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \)

Sabendo da propriedade acima, agora calcularemos a derivada da função:

\(\begin{align} & y={{x}^{2}}\sin 2x \\ & y'=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \\ & y'=\sin 2x\left( \frac{d}{dx}{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}\left( \frac{d}{dx}\sin 2x \right) \\ & y'=\sin 2x\left( 2{{x}^{2-1}} \right)+{{x}^{2}}\left( \left( 2{{x}^{1-1}} \right)\cdot \left( \cos 2x \right) \right) \\ & y'=\sin 2x\left( 2x \right)+{{x}^{2}}\left( 2\cos 2x \right) \\ & y'=2x\sin 2x+2{{x}^{2}}\cos 2x \\ \end{align}\ \)

Portanto, a derivada da função dada será \(\begin{align} & y'=2x\sin 2x+2{{x}^{2}}\cos 2x \\ \end{align}\ \).

Para encontrarmos a derivada dessa função devemos utilizar a Regra do Produto, que é definida como mostrado abaixo:

\(\frac{d}{x}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \)

Sabendo da propriedade acima, agora calcularemos a derivada da função:

\(\begin{align} & y={{x}^{2}}\sin 2x \\ & y'=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \\ & y'=\sin 2x\left( \frac{d}{dx}{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}\left( \frac{d}{dx}\sin 2x \right) \\ & y'=\sin 2x\left( 2{{x}^{2-1}} \right)+{{x}^{2}}\left( \left( 2{{x}^{1-1}} \right)\cdot \left( \cos 2x \right) \right) \\ & y'=\sin 2x\left( 2x \right)+{{x}^{2}}\left( 2\cos 2x \right) \\ & y'=2x\sin 2x+2{{x}^{2}}\cos 2x \\ \end{align}\ \)

Portanto, a derivada da função dada será \(\begin{align} & y'=2x\sin 2x+2{{x}^{2}}\cos 2x \\ \end{align}\ \).

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Leonardo

Há mais de um mês

Olá Bruna, tudo bom? Vejo que é uma função composta, ou seja, devemos aplicar a regra do produto, e a regra da cadeia no "sen 2x"

Regra do Produto => y' = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x).

Regra da cadeia => sen 2x -> 2.cos 2x.

Função:
y = x² . sen 2x

Derivada da função

f(x) = x² ,   g(x) = sen 2x

f'(x) = 2x,   g'(x) = 2.cos 2x

Jogando na fórmula do produto, fica:

y' = 2x . sen 2x + 2cos 2x . x²

y' = 2x.sen 2x + 2x². cos 2x

Espero ter ajudado! Abraços =)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas