A equaçao da circunferencia que passa pelos pontos A(0,1) e B(1,4) e tem centro sobre a reta de equaçao x=2, sera melhor representada por

Sabe-se que a equação geral de qualquer circunferência de centro \((x_0,y_0)\) e raio \(r\) é:

\(\Longrightarrow (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)

Se o centro da circunferência está na reta \(x=2\), então \(x_0=2\). Então, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (x-2)^2+(y-y_0)^2=r^2\)

Substituindo os pontos \(A(x=0,y=1)\) e \(B(x=1,y=4)\) na equação anterior, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} (0-2)^2+(1-y_0)^2=r^2 &(I) \\ (1-2)^2+(4-y_0)^2=r^2 & (II) \end{matrix} \right.\)

Igualando as equações \((I)\) e \((II)\), o valor de \(y_0\) é:

\(\Longrightarrow (0-2)^2 + (1-y_0)^2=(1-2)^2+(4-y_0)^2\)

\(\Longrightarrow 4 + 1-2y_0 + y_0^2=1+16-8y_0+y_0^2\)

\(\Longrightarrow 5-2y_0 =17-8y_0\)

\(\Longrightarrow 8y_0-2y_0 =17-5\)

\(\Longrightarrow 6y_0 =12\)

\(\Longrightarrow y_0 =2\)

Substituindo o valor de \(y_0\) na equação \((I)\), o valor de \(r^2\) é:

\(\Longrightarrow (0-2)^2+(1-y_0)^2=r^2\)

\(\Longrightarrow (0-2)^2+(1-2)^2=r^2\)

\(\Longrightarrow 4+1=r^2\)

\(\Longrightarrow r^2=5\)

Finalmente, substituindo os termos conhecidos na equação da circunferência \((x-2)^2+(y-y_0)^2=r^2\), a resposta final é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ (x-2)^2+(y-2)^2=5 $}\)

Olá Américo,

A primeira coisa a fazer é encontrar o diâmetro da circunferência, que é o segmento de reta que passa pelos pontos A e B:

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (= DIÂMETRO)

D² = (0 - 1)² + (1 - 4 )²  <==> D² = 1 + 9  <=> D = V10

Logo, o raio da circunferência é V10 /2

(X - Xc)² + (Y - Yc)²  = R²

     (x - 2)² + (y - __)² = (V10 /2)²

=> (x - 2)² + (y - __)² = 5/2

Acredito que esta questão seja de multipla escolha, vide enunciado. Procure a alternativa que melhor se parece com a resposta. Este espaço em branco pode ser preenchido por qualquer valor Real.

Consegui te ajudar ?

Sds,

Raphael Lima.