L'Hospital

O teorema de L'Hospital deve ser aplicado em situações onde os termos envolvidos resultam em indeterminações nas formas 0/0 ou ∞/∞. Aplicando-se a derivada no denominador e no numerador dessas funções pode-se dizer que você está verificando qual das duas funções cresce ou decresce mais rapidamente, assim você consegue induzir se essas funções são limitadas ou se elas divergem.

No link a seguir há um ótimo documento que explica as regras e suas aplicações:

http://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/calculo1_aula13.pdf

Se a função do numerador crescer mais rapidamente no caso do limite dela tender ao infinito, pode-se dizer que a função irá tender ao infinito, caso contrário se é o denomiador que cresce mais rapidamente que seu denominador, e no caso de seu limite tender ao infinito, tem-se que a função resultará em zero.

Agora se as taxas do denominador e numerador apresentam valores limitados, pode-se dizer que há o limite e é diferente de zero.

Verifique esses exemplos:

http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/calculo_lim/calculo_lim.htm#exemplo7