Existe uma transformacão linear T de R3 em R2 tal que T(1,-1, 1) = (1, 0) e T(1, 1, 1) = (0, 1)?

A resposta é não. Se tal transformação existisse, vc teria dois vetores, no caso (1,-1,1) e (1,1,1) gerando todo R³ o que é um absurdo pois 2 vetores não podem gerar o R³. Ou seja, existiriam vetores em R³ (os que não estivessem no espaço gerado por (1,-1,1) e (1,1,1)), que não possuiriam correspondentes em R², muito embora {(0,1),(1,0)} seja base em R². Qualquer dúvida mande whatsapp para 992085645. Abraços.

Oi, Natty. Tudo bem?

Agradecemos sua participação no Plantão de Especialistas :)

Segue anexa a solução da sua pergunta.

Bons estudos e super notas!

Podemos montar a seguinte combinação linear com o seguinte sistema conveniente:

\((x,y,z) = a(1,-1,1) + b(1,1,1) \\ (x,y,z) = (a+b, -a+b, a + b) \\ \begin{cases} a+b = x \\ -a+b = y \\ x = z\end{cases}\)

Somando as duas primeiras equações, obtemos:

\(b = \frac{x+y}{2}\)

Subtraindo as duas primeiras equações, obtemos:

\(a = \frac{x-y}{2}\)

Logo, teremos:

\(T(x,y,z) = aT(1,-1,1) + bT(1,1,1) \\ \boxed{T(x,y,z) = \frac{x-y}{2}(1,0) + \frac{x+y}{2}(0,1)}\)

Perceba que a transformação não depende de \(z\).