Olá Laís!
Resolvendo o problema, temos que aplicar o produto vetorial dos dois vetores dados!
|U.V|= |I J K|
|2 1 -3| = (-1-6) I - (-2+12) J + (-4-4)K
|4 -2 -1|
teremos então um outro vetor resultante: -7i - 10J -8K
tomando em módulo, temos: √(-7)² + (-10)² + (-8)²
=√49+100+64
a area do paralelogramo valerá =√213.
A área de um paralelogramo determinado por dois vetores pode ser calculada pelo produto vetorial dos mesmos:
\(A = ||\vec{u}\times\vec{v}||\)
Substituindo os vetores dados, temos:
\(A = ||(2\hat{i} +\hat{j} - 3\hat{k})\times(4\hat{i} -2\hat{j} - \hat{k})||\)
Usando a propriedade distributiva, temos:
\(A = ||-4\hat{i}\times\hat{j}-2\hat{i}\times\hat{k}+4\hat{j}\times\hat{i}-\hat{j}\times\hat{k}-12\hat{k}\times\hat{i}+6\hat{k}\times\hat{j}||\)
Calculando os produtos vetoriais, temos:
\(A = ||-4\hat{k}+2\hat{j}-4\hat{k}-\hat{i}-12\hat{j}-6\hat{i}||\)
Juntando os termos semelhantes, temos:
\(A = ||-8\hat{k}-7\hat{i}-10\hat{j}||\)
Calculando a norma, temos:
\(A =\sqrt{8^2+7^2+10^2}=\sqrt{64+49+100}\)
Temos, finalmente:
\(\boxed{A=\sqrt{213}}\)
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
•UNEB
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