Para qual valor de k o vetor u→=(1,-2,k)de R3, será combinação linear dos vetores v→=(3,0,2) e w→=(2,-1,-5)?

ISSO AI

Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos escalares do vetor. Em linguagem matemática, \(V\) é combinação linear se existem \(a,b, c,....m\), tais que:

\(V=ax+by+cz.....mn\)

Para que o vetor \( u= (1,-2,k)\) seja combinação linear de   \(v=(3,0,2)  \) e \(w=(2,-1,-5)\):

\(x1.v+ x2. w= u\\ x1.(3,0,2) + x2. (2,-1,-5)= (1,-2,k)\\ (3x1,0,2x1) + (2x2,-x2,-5x2)= (1,-2,k)\)

\(3x1+2x2=1\)   Equação \(1\)

\(x2=2   \)  Equação \(2\) 

\(2x1-5x2=k \)  Equação \(3\)

Substituindo a equação \(2\) na equação \(1\):

\(3x1+2x2=1 \\ 3x1+2.2=1 \\ x1=-1\)

Substituindo \(x1\) e \(x2\) na equação \(3\):

\(2x1-5x2=k \\ 2.(-1)-5(2)=k\\ -2-10=k\\ \boxed{k=-12}\)