Considere os vetores u→=(1,-3,2) e v→=(2,-1,1) para que valores de k o vetor (1,k,5) é uma combinação linear de u e v?

[tex3]\begin{cases} \alpha_1 = -2\\ \alpha_2 = 4\\ k = 12\\ \end{cases}[/tex3]

Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos escalares do vetor. Em linguagem matemática, \(V\) é combinação linear se existem \(a,b, c,....m\), tais que:

\(V=ax+by+cz.....mn\)

Para que o vetor \(w= (1,k,5) \)seja combinação linear de   \(u=(1,-3,2)\) e \(v=(2,-1,1)\):

\(x1.u+ x2. v= w\\ x1.(1,-3,2) + x2. (2,-1,1)= (1,k,5)\\ (x1,-3x1,2x1) + (2x2,-x2,x2)= (1,k,5)\)

\(x1+2x2=1\)  Equação \(1\)

\(-3x1-x2=k\)  Equação \(2\)

\(2x1+x2=5\) Equação \(3\)

Multiplicando a equação \(1\) por (\(-2\)) e somando com a Equação \(3\):

\(     -2x1+-4x2=-2\\ +    2x1+x2=5\\ --------------\\             -3x2 = 3\\                x2= -1\)

Substituindo na equação \(3\):

\(2x1+x2=5\\ 2x1-1=5\\ x1= 3\\\)

Substituindo \(x1\) e \( x2\) na equação \(2\):

\(-3x1-x2=k \\ -3.3-(-1)=k\\ -9+1=k\\ \ \boxed{k=-8}\)