Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Se A é matriz identidade e B uma matriz nula, o determinante de (A + B) é igual a:

Na Matriz identidade todos os elementos da diagonal principal sao 1 e na Matriz nula todos os elementos são 0

no entanto o determinante da Matriz " A " será 1 e " B " será 0 , somando as duas matrizes :

 1 + 0 = 1

Neste exercício, será calculado o determinante da matriz \(A+B\), ou seja, será determindo o valor de \(\det(A+B) \).

Como \(A\) e \(B\) são matrizes quadradas de ordem \(n\), ambas possuem \(n\) linhas e \(n\) colunas, ou seja, dimensão \(n \, x \, n\).

Como \(A\) é uma matriz identidade, todos os elementos da sua diagonal principal são iguais a \(1\). Portanto, ela é apresentada da seguinte forma:

\(\Longrightarrow A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n}\)

Como \(B\) é uma matriz nula, todos os seus elementos são iguais a \(0\). Portanto, ela é apresentada da seguinte forma:

\(\Longrightarrow B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n}\)

Como as duas matrizes possuem mesma dimensão, a adição pode ser realizada. Com isso, a matriz \(A+B\) é determinada através da adição de cada elemento correspondente. A matriz resultante está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow A +B= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n}\)

\(\Longrightarrow A+B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n}\)

Como a matriz \(A+B\) só possui elementos não nulos na sua diagonal principal, o valor da sua determinante é igual à multiplicação de todos os elementos da diagonal principal. O resultado está apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \det(A+B) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{bmatrix} _{n \space x \space n}\)

\(\Longrightarrow \det(A+B) = 1^n\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \det(A+B) = 1 $}\)