Explanação sobre Teorema da Existencia e Unicidade de Soluções

Suponha que f e df/dy  sejam continuas em um retangulo R, A<x<B, C<y<D  , entao o PVI

dy/dx    = f(x,y)              e    y(xo)=yo 

tem unica solução definida em algum intervalo (xo-h,xo+h) c (A,B).

Simples Assim! :D

Temos:

f x' = f (t, x) e x (t0) = x0

São equações diferenciais lineares, que possuem uma solução única. Sobre a questão da existência e unicidade de soluções para todas as equações diferenciais de primeira ordem, a existência e a singularidade das soluções serão muito importantes, mesmo quando consideramos as aplicações de equações diferenciais.

Temos que:

\(\[\text{Se x ¢ = f }\left( \text{t}\text{, x} \right)\text{ tem a condicao inicial x }\left( \text{t0} \right)\text{ = x0}\text{. Se f e }\!\!\P\!\!\text{ f / }\!\!\P\!\!\text{ x}\]\)

são funções contínuas no retângulo
\(\[R\text{ }=\text{ }\left\{ \left( t,\text{ }x \right):\text{ }0\le \text{ }\left| \text{ }t\text{ }-\text{ }t0\text{ } \right|\text{ }\le a,\text{ }0\le \text{ }\left| \text{ }x\text{ }-\text{ }x0\text{ } \right|\text{ }\le \text{ }b \right\},\]\)

existe uma solução única u = u (t)
\(\[\text{para x ¢ = f }\left( \text{t}\text{, x} \right)\text{ e x }\left( \text{t0} \right)\text{ = x0 em algum intervalo }\left| \text{ t - t0 } \right|\text{ h contido no intervalo }\left| \text{ t - t0 } \right|\text{ a}\text{.}\]\)