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Como Calcular essa integral indefinida de volume?

Determine o volume do solido gerado pela revolução da região ilimitada pelos gráficos das equações dadas em torno do eixo de y(dy)

 

y²= x³ , y= 8 e x=0

Cálculo I

UNIFOA


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Para encontrarmos o volume desse sólido devemos realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{x}^{3}}=8 \\ & x=2 \\ & \\ & V=\pi \int_{0}^{2}{{{(8-{{x}^{3}})}^{2}}dx} \\ & V=\pi \int_{0}^{2}{(64-16{{x}^{2}}+{{x}^{6}})dx} \\ & V=\pi \left[ 16x-\frac{16{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{7}}}{7} \right]_{0}^{2} \\ & V=\pi \left[ 16\cdot 2-\frac{16\cdot {{2}^{3}}}{3}+\frac{\cdot {{2}^{7}}}{7} \right] \\ & V=\pi \left[ 32-42,6+18,28 \right] \\ & V=7,68\pi \\ \end{align}\ \)

Portanto, o volume será \(\begin{align} & V=7,68\pi \\ \end{align}\ \).

Para encontrarmos o volume desse sólido devemos realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{x}^{3}}=8 \\ & x=2 \\ & \\ & V=\pi \int_{0}^{2}{{{(8-{{x}^{3}})}^{2}}dx} \\ & V=\pi \int_{0}^{2}{(64-16{{x}^{2}}+{{x}^{6}})dx} \\ & V=\pi \left[ 16x-\frac{16{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{7}}}{7} \right]_{0}^{2} \\ & V=\pi \left[ 16\cdot 2-\frac{16\cdot {{2}^{3}}}{3}+\frac{\cdot {{2}^{7}}}{7} \right] \\ & V=\pi \left[ 32-42,6+18,28 \right] \\ & V=7,68\pi \\ \end{align}\ \)

Portanto, o volume será \(\begin{align} & V=7,68\pi \\ \end{align}\ \).

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