Segundo Castanheira (2013) “A curva que representa a distribuição normal de probabilidade é frequentemente descrita como tendo uma forma de sino, sendo também conhecida como Curva de Gauss. ”
Analise o problema e marque a resposta correta:
Em um exame de estatística, verificou-se que as distribuições das notas têm uma distribuição aproximadamente normal com média igual a 78 e desvio padrão igual a 10. Quantos alunos podemos esperar que tenham tirado notas entre 68 e 93?
| A |
43,32% dos alunos
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| B |
34,13% dos alunos
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| C |
77,45% dos alunos
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| D |
9,19% dos alunos |
Kelly Perdun
77,45%
RD Resoluções
Para resolver este problema, devemos colocar em prática os conceitos sobre a distribuição normal de probabilidades. Neste contexto, utilizaremos a Tabela de Distribuição Normal, disponível em http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ss714:tabela-normal.pdf (Acesso em 22 de junho de 2018), que fornece os valores da probabilidade de \(P(Z \leq a)\), onde \(Z\) é uma variável aleatória normal padronizada e \(a\) é o limitante do intervalo.
Para obter a variável normal padronizada, utiliza-se a fórmula abaixo:
\(Z=\dfrac{x-\mu}{\sigma},\)
em que \(x\) é a variável aleatória; \(\mu\) a média dos dados; e \(\sigma\) o desvio padrão.
No problema em questão, o procedimento de cálculo inicia-se pelo cálculo de \(Z\), isto é, normalizando os valores de nossas variáveis aleatóriais, \(x_1=68\) e \(x_2=93\). Assim:
\(\begin{align} Z_1&=\dfrac{68-78}{10} \\&=-1 \end{align}\)
\(\begin{align} Z_2&=\dfrac{93-78}{10} \\&=1,5 \end{align}\)
Além disso, faz-se necessário lembrar da seguinte propriedade:
\(P(Z<-z)=P(z>1)\)
Assim:
\(\begin{align} P(68<x<93)&=P(-1,0<Z<1,5) \\&=P(Z<1,50)-P(Z<-1,0) \\&=0,9332-0,1587 \\&=0,7745 \\&=77,45\text{ %} \end{align}\)
Portanto, a quantidade de alunos que espera ter tirado notas entre \(68\) e \(93\) é de \(\boxed{77,45\text{ %}}\). Logo, esta correta a alternativa c).
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