Para sabermos se uma função converge, basta calcularmos seu limite:

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{1\over(\ln x)^{\ln x}}\)

Vamos fazer a seguinte substituição de variável:

\(y=\ln x\Rightarrow y_0=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\ln x=\infty\)

Voltando às contas, temos:

\(L=\lim\limits_{y\rightarrow\infty}{1\over y^y}\)

Temos, portanto:

\(L=0\)

Concluímos, portanto, que:

 \(\boxed{{1\over(\ln x)^{\ln x}}\longrightarrow0}\)