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Otimização

Uma lata de conserva, de forma cilindrica, com tampa, deve ser contruida com 48cm^2 de folha. Ache as dimensões de modo que seu volume seja máximo.

Cálculo IUFPE

1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Devemos encontrar o valor da altura e do raio dessa lata e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V={{A}_{base}}\cdot h=\pi {{r}^{2}}h \\ & \\ & A={{A}_{base}}+{{A}_{lateral}}+{{a}_{tampa}} \\ & A=\pi {{r}^{2}}+2\pi rh+\pi {{r}^{2}} \\ & \pi {{r}^{2}}+2\pi rh=48 \\ & h=\frac{24}{\pi r}-r \\ & \\ & V=\pi {{r}^{2}}h \\ & V=\pi {{r}^{2}}\left( \frac{24}{\pi r}-r \right) \\ & V=24r-\pi r \\ & r=\sqrt{\frac{8}{\pi }}=1,59cm \\ & h=\frac{24}{\pi }\sqrt{\frac{\pi }{8}}-\sqrt{\frac{8}{\pi }}=2,97cm \\ \end{align}\ \)

Portanto, as dimensões da lata serão \(\boxed{r = 1,59{\text{ cm e }}h = 2,97{\text{ cm}}}\).

Devemos encontrar o valor da altura e do raio dessa lata e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V={{A}_{base}}\cdot h=\pi {{r}^{2}}h \\ & \\ & A={{A}_{base}}+{{A}_{lateral}}+{{a}_{tampa}} \\ & A=\pi {{r}^{2}}+2\pi rh+\pi {{r}^{2}} \\ & \pi {{r}^{2}}+2\pi rh=48 \\ & h=\frac{24}{\pi r}-r \\ & \\ & V=\pi {{r}^{2}}h \\ & V=\pi {{r}^{2}}\left( \frac{24}{\pi r}-r \right) \\ & V=24r-\pi r \\ & r=\sqrt{\frac{8}{\pi }}=1,59cm \\ & h=\frac{24}{\pi }\sqrt{\frac{\pi }{8}}-\sqrt{\frac{8}{\pi }}=2,97cm \\ \end{align}\ \)

Portanto, as dimensões da lata serão \(\boxed{r = 1,59{\text{ cm e }}h = 2,97{\text{ cm}}}\).

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Nicole

Há mais de um mês

Teremos que encontrar a medida do raio e da altura para que o volume seja máximo. 
At=Al+2.Ab -> 48=2πrh+2πr² -> 24=πrh+πr² (isolando o h)
h=(24-πr²)/πr.A fórmula do volume -> V=Ab.h -> V=πr²h -> V=πr²(24-πr²)/πr -> V=r(24-πr²)
Achamos o volume em função do r, V(r)=24r-πr³.
Agora vamos encontrar os pontos críticos, para isso iremos calcular a primeira derivada e teremos
V'(r)=24-3πr² -> V'(r)=0 -> 24-3πr²=0 -> 3πr²=24 -> r²=8/π -> r=±2√2π/π.
Agora vamos calcular a segunda derivada e verificar os valores numéricos para r=2√2π/π e r=-2√2π/π.
V"(r)=-6πr
V"(2√2π/π)=-6π.2√2π/π=-12√2π (esse valor é <0, portanto representa a abscissa do ponto máximo que é o que queremos para encontrar o volume máximo).
Com isso o raio valerá r=2√2π/π e substituindo esse valor na equação lá em cima h=24-πr²/πr, iremos achar h=4√2π/π.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas