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estabeleça a equação da tangente à curva y3+1=x2-4xy no ponto (-1,2).

Cálculo I

ESTÁCIO


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alcemir

Há mais de um mês

y^3+1~=~x^2-4xy no ponto (-1, 2)

y^3+1~=~x^2-4xy \\  \\ \text{derivando implicitamente} \\  \\ 3y^2y' + 0~ =~2x-4(y+xy') \\  \\ 3y^2y'~= ~2x-4y-4xy' \\  \\ 3y^2y'+4xy'=2x-4y \\  \\\boxed{ y'= \frac{2x-4y}{3y^2+4x} }


substitui no ponto( - 1 , 2 )

y'= \frac{2(-1)-4(2)}{3(2)^2+4(-1)} \\  \\ y'= \frac{-2-8}{12-4}  \\  \\ y'= \frac{-10}{8} = \boxed{\boxed{-\frac{5}{4} }}~~~ ~~ ~~ \longleftarrow ~~~coeficiente ~angular \\  \\ \text{agora e so substituir na equacao da reta tangente }\\  \\ y-yo=y'(x-xo) \\  \\ y-2=- \frac{5}{4} (x-(-1)) \\  \\ y=- \frac{5}{4}x- \frac{5}{4} +2 \\  \\\boxed{\boxed{ y= -\frac{5}{4}x+ \frac{3}{4}   }}~\longleftarrow~~~~\text{eq da reta tangente}

y^3+1~=~x^2-4xy no ponto (-1, 2)

y^3+1~=~x^2-4xy \\  \\ \text{derivando implicitamente} \\  \\ 3y^2y' + 0~ =~2x-4(y+xy') \\  \\ 3y^2y'~= ~2x-4y-4xy' \\  \\ 3y^2y'+4xy'=2x-4y \\  \\\boxed{ y'= \frac{2x-4y}{3y^2+4x} }


substitui no ponto( - 1 , 2 )

y'= \frac{2(-1)-4(2)}{3(2)^2+4(-1)} \\  \\ y'= \frac{-2-8}{12-4}  \\  \\ y'= \frac{-10}{8} = \boxed{\boxed{-\frac{5}{4} }}~~~ ~~ ~~ \longleftarrow ~~~coeficiente ~angular \\  \\ \text{agora e so substituir na equacao da reta tangente }\\  \\ y-yo=y'(x-xo) \\  \\ y-2=- \frac{5}{4} (x-(-1)) \\  \\ y=- \frac{5}{4}x- \frac{5}{4} +2 \\  \\\boxed{\boxed{ y= -\frac{5}{4}x+ \frac{3}{4}   }}~\longleftarrow~~~~\text{eq da reta tangente}

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