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Derivadas parciais e curvas de nível

A temperatura T (em ° C) em qualquer ponto da região -5 ≤ x ≤ 5, -5 ≤ y ≤5 é dada pela função T(x) = 25 - x² - y².

Esboce as curvas isométricas (curvas de níveis) para T = 0º; 9º e 16º

Cálculo II

PITÁGORAS


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

As curvas de nível de uma função são a projeção no plano cartesiano dos pontos sobre a superfície onde a função assume o mesmo valor, no caso dado, as curvas de nível equivalem aos pontos sobre o plano xy onde  a função \(T(x,y)\) assume valores constantes.

Para \(T=0\) substituindo na expressão da função, os pontos no plano xy que estão a 0º satisfazem:

\(0=25-x^2-y^2\)

\(x^2+y^2=25\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 5.

Para \(T=9\), temos:

\(x^2+y^2=16\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 4.

Para \(T=16\), temos:

\(x^2+y^2=9\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 3.

As curvas de nível de uma função são a projeção no plano cartesiano dos pontos sobre a superfície onde a função assume o mesmo valor, no caso dado, as curvas de nível equivalem aos pontos sobre o plano xy onde  a função \(T(x,y)\) assume valores constantes.

Para \(T=0\) substituindo na expressão da função, os pontos no plano xy que estão a 0º satisfazem:

\(0=25-x^2-y^2\)

\(x^2+y^2=25\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 5.

Para \(T=9\), temos:

\(x^2+y^2=16\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 4.

Para \(T=16\), temos:

\(x^2+y^2=9\)

Que é no plano xy uma circunferência de raio 3.

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Barbara Oliveira

Há mais de um mês

isola o y, e substitui T por um dos valores dados,  desenha a curva da funçao no plano 2D. faz isso para cada valor de T,  desenha todas as curvas no mesmo plano.

nessa equaçao em especial, voce vai perceber que a funçao resultate ao substitui o T é a equaçao do circulo, r^2 =  x^2 + y^2, oq torna muito mais facil o desenho do grafico.

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