Seja G um grupo contendo exatamente 2n elementos, n > =1 inteiro.Prove que existe x diferente de e tal que x^2 = e onde e representa a identidade de G

Suponha que todo elemento x diferente de e, tmbém é tal que x^2 é diferente de e, ou seja, x é diferente de x^{-1} (seu inverso). Neste caso, os elemento do grupo G podem ser listados do seguinte modo:

G = { e, x_1, (x_1)^{-1}, x_2, (x_2)^{-1},..., x_k, (x_k)^{-1}}. Neste caso, a ordem do grupo G seria um número da forma 2k+1, contrariando o fato de ser par! Logo, existe x diferente de e, tal que x^2 = e.