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# Seja ABC um triangulo qualquer com medianas AD, BE E CF. Demonstre que AD+BE+CF=0?

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Há mais de um mês

Sabemos que:

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}) \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}) \\= \frac{1}{2}\overrightarrow{BB} \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{0}) \\=\overrightarrow{0}$$

Portanto, podemos concluir que:

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$$

Sabemos que:

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF} \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}) \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}) \\= \frac{1}{2}\overrightarrow{BB} \\=\frac{1}{2}(\overrightarrow{0}) \\=\overrightarrow{0}$$

Portanto, podemos concluir que:

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$$

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