Calcular a raiz positiva do polinômio P(x) = 2x3 – 2x2 – 3x -1, com erro <= 10-4, pelo método de Newton para polinômios. P`(x) = 6x2 – 4x + 3

Primeiro: Determinar um intervalo que contenha apenas uma raizes
Para isso, vamos fazer P(x) = g(x) - h(x), faz-se o gráfico de g(x) e h(x). Toda intercessão de g(x) e h(x) representa uma raiz de P(x) (Método Gráfico).
Fazendo os gráficos, é possível observar que a raíz positiva está no intervalo de [1,9;2]. Isso pode ser provado ao fazermos P(1,9) e P(2), pois P(1,9)<0 e P(2)>0, logo podemos afirmar que existe uma raís neste intervalo.
 

Método de Newton
Xn+1 = Xn - P(Xn)/P'(Xn)

Para determinar o X0 derivamos P(x) duas vezes. O X0 será aquele que satisfazer a expressão: P(X)*P''(X)>0, onde X0 é um dos pontos extremos do intervalo que contenha apenas uma raíz, ou seja, neste caso X0 pode ser 1,9 ou 2.
Um caso curioso: se nenhum dos pontos satisfazerem a expressão anterior (P(X)*P''(X)>0), deve-se diminuir ainda mais o intervalo até encontrar um ponto que satisfaz a expressão.

Determinando X0: 

P(x) = 2x^3 - 2x^2 -3x - 1
P'(x) = 6x^2 - 2x - 3  (Confira o sinal de 3 na primeira derivada)
P''(x) = 12x - 2

P(1,9)<0
P''(1,9)>0              P(1,9)*P(2)<0

P(2)>0
P''(2)>0                P(2)*P''(2)>0

Logo, 2 será o X0.

Para n=0 temos:

X1 = X0 - P(X0)/P'(X0)

X1 = 2 - 1/17

X1 = 1,941176                                 (É importante trabalharmos com um número de casas decimais maior que o erro)

Para n=1 temos:

X2 = X1 - P(X1)/P'(1)

X2 = 1,941176 - 0,269483/15,726633

X2 = 1,924040

E=|X1-X2|
E=0,0171     

O erro ainda não é o desejado, logo, usando a formula,  é necessário encontrar X3, X4, X5 (...) até que o erro seja menor ou igual a 10^(-4).

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Numérico, mais especificamente sobre o Método de Newton.

O Método de Newton busca estimar as raízes de uma função. Para tanto, admite-se uma aproximação inicial, \(x_0\),  e calcula-se a equação da reta tangente através da função nesse ponto (através da derivada) e a interseção da mesma com a abcissa e, em consequência, encontra-se uma nova aproximação para a raíz. Repetindo tal processo, cria-se um método iterativo. Matematicamente, o Método de Newton é expresso pela equação abaixo:

\(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \hspace{0.2cm} n\in \mathbb N\)

Em nosso problema, a função é \(P(x)=2x^3-2x^2-3x+1\) e sua derivada é \(P'(x)=6x^2-4x-3\).

Para \(x_0=2\), tem-se que:

\(\begin{align} P(2)&=2\cdot 2^3-2\cdot 2^2-3\cdot 2-1 \\&=16-8-6-1 \\&=1 \end{align}\)

Logo \(x_0=2\) é uma boa aproximação. Aplicando o método, resulta que:

\(\begin{align} x_1&=x_0-\dfrac{P(x_0)}{P'(x_0)} \\&=2-\dfrac{1}{6\cdot 2^2-4\cdot 2-3} \\&=2-\dfrac{1}{13} \\&=1,923 \end{align}\)

Testando:

\(\begin{align} P(x_1)&=P(1,923) \\&=2\cdot 1,923^3-2\cdot 1,923^2-3\cdot 1,923-1 \\&=0,0573>10^{-4} \end{align}\)

Iterarando novamente:

\(\begin{align} x_2&=x_1-\dfrac{P(x_1)}{P'(x_1)} \\&=1,923-\dfrac{0,0573}{6\cdot 1,923^2-4\cdot 1,923-3} \\&=1,923-\dfrac{0,0573}{11,496} \\&=1,9180 \end{align}\)

Testando:

\(\begin{align} P(x_2)&=P(1,918) \\&=2\cdot 1,9180^3-2\cdot 1,9180^2-3\cdot 1,9180-1 \\&=1,37264\cdot 10^{-4}>10^{-4} \end{align}\)

Iterarando novamente:

\(\begin{align} x_3&=x_2-\dfrac{P(x_2)}{P'(x_2)} \\&=1,9180-\dfrac{1,37264\cdot 10^{-4}}{6\cdot 1,9180^2-4\cdot 1,9180-3} \\&=1,9180-\dfrac{1,37264\cdot 10^{-4}}{11,400} \\&=1,91799 \end{align}\)

Testando:

\(\begin{align} P(x_3)&=P(1,91799) \\&=2\cdot 1,91799^3-2\cdot 1,91799^2-3\cdot 1,91799-1 \\&=4,61\cdot 10^{-7}<10^{-4} \end{align}\)

Portanto, a raiz positiva do polinômio \(P(x)=2x^3-2x^2-3x+1\) com erro menor que \(10^{-4}\) é \(\boxed{x=1,91799}\).