Seja \(f(x)=\sin(x)\), para achar os pontos de máximos e mínimos primeiro determinamos a derivada função.

Assim, temos que:

\(f'(x)=\cos(x)\), com \(x \in[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\).

Pelo teste da primeira derivada, sabemos que os candidatos a pontos de máximos e mínimos satisfazem a seguinte relação:

\(f'(x)=0\)

Como \(f'(x)=\cos(x)\) e \(x \in[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\), então:

\(f'(x)=0\) isso implica que \(\cos(x)=0 \) com \(x \in[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\).

Portanto, \(x=\frac{\pi}{2}\).

Para saber se este ponto é um ponto de máximo ou mínimo, determinamos sua segunda derivada:

\(f"(x)=-\sin(x)\), logo:

\(f"(\frac{\pi}{2})=-1<0\)

Portanto, \(x=\frac{\pi}{2}\) é um ponto de máximo.