Nesta questão, devemos aplicar diversos conceitos matemáticos.

Lembremos que:

• A estrutura de uma função do segundo grau é $y = a*x^2 + b*x + c$, onde $a$, $b$ e $c$ são coeficientes que multiplicam a variável $x$, e $y$ é a imagem da função, isto é, o quanto a função vale para determinado $x$;
• A abscissa do vértice de uma função de segundo grau, isto é, o valor de xx no vértice (ponto de máximo ou de mínimo) é dado por $x_V= \dfrac{-b}{2*a}$; e
• A imagem do vértice de uma função de segundo grau, isto é, o valor de $y$ no vértice (máximo ou mínimo) é dado por $y_V= \dfrac{-\Delta}{4*a}$, onde $\Delta$ (delta) é calculado pela fórmula de Baskhara e vale $\Delta = b^2 - 4*a*c$.

1) O preço atual é de $R\$: 2,00$ por $100 ml$, o que equivale a $R\$: 20,00$ por litro. Assim podemos dizer que $P(x) = 20 + x$, onde $x$ é a variação do valor do litro do suco.

Por exemplo, se aumentarmos $R\$: 0,20$ no preço de $100 ml$, que equivale a um aumento de $R\$: 1,50$ por litro, vamos obter um novo valor no suco $P(1,50) = 20 + 1,50 = R\$: 21,50$.

2) A cada $R\$: 0,15$ de aumento por $100ml$, que equivale a um aumento de $R\$:1,50$ por litro, $16L$ de suco a menos são vendidos por dia. Isso significa que, se for aumentado um valor $x$ o preço, a venda diminuirá $16L*\dfrac{x}{1,5}.

Inicialmente, são vendido 950 L de suco por dia, logo, com a redução, serão vendidos $V(x) = 950 - 16*\dfrac{x}{1,5}$, onde $ V é a quantidade de suco vendida, em litros, e $x$ é o aumento do preço, em reais.

3) A receita da fábrica, dentro do que estamos considerando, nada mais é que o produto do preço por litro do suco pela quantidade de suco vendida por dia. Assim, temos que a receira $R$, em função do aumento $x$, será

$\begin{align}R(x) = P(x) * V(x) &= (20 + x)*(950 - 16*\dfrac{x}{1,5})\\ &= 20*950 - 20*16\dfrac{x}{1,5} + x*950 - x*16*\dfrac{x}{1,5}\\ &= 19.000 - \dfrac{320}{1,5}*x + 950*x - \dfrac{16}{1,5}*x^2\\ &= -\dfrac{16}{1,5}*x^2 + \dfrac{1.105}{1,5}*x + 19.000\text{.} \end{align}$

4) Vemos que a função da Receita é uma parábola do segundo grau. Queremos, então, seu ponto de máximo, o qual nos dará a receita máxima da empresa em função do aumento $x$. Como estamos interessados em saber o valor do aumento, queremos apenas abscissa do vértice, que será dada por:

$x_V= \dfrac{-b}{2*a} = \dfrac{-\dfrac{1.105}{1,5}}{2 * (-\dfrac{16}{1,5})} = \dfrac{1.105*1,5}{1,5*2*16} \approx 34,53$ reais por litro.

Isso corresponde a um aumento de, aproximadamentem $R\$: 3,45$ por cada $100mL$ do suco, o que deixaria a porção com valor $2,00 + 3,45 = R\$: 5,45$.

5) Como o suco custa, inicialmente, $R\$: 20,00$ o litro, com o aumento iria para $R\$: 54,53$. Vemos que tal valor fica bastante acima ao dos concorrentes, o que não é recomendável.

Assim, recomenda-se que não se busque a receita máxima, mas sim um valor próximo ao dos principais concorrentes, a fim de ter competitividade no mercado.

sei lá