Determinar os pontos da x²100 + y²/36 = 1, cujas distâncias ao foco direito medem 14.

Thiago, os focos da elipse são (-8, 0) e (8, 0), sendo o segundo o foco direito. Os pontos que procura estão a uma distância fixa de 14 u.c. deste foco, logo temos uma circunferência de centro no foco e raio 14. Os pontos, se existirem, são a intersecção da elipse dada com a circunferência.

Ao resolver o sistema formada por essas duas curvas, encontra-se dois pontos de intersecção. Pela tamanho dos cálculos e linguagem matemática, fiz a resolução no word e o converti para imagem. Caso queira a solução em pdf, me chame no whatsApp 31 99825 6760.

além da solução envio uma imagem das curvas desenhadas no mesmo plano com seus focos, centro e ponto de intersecção .

abraços

Podemos descobrir os pontos de foco a partir do parâmetro \(c\):

\(c^2 = 100 + 36 \\ c = \pm \sqrt{136}\)

Logo, os focos serão:

\(F(\pm \sqrt{136}, 0)\)

O foco direito é, portanto:

\(F(+\sqrt{136}, 0)\)

Pela fórmula da distância euclidiana, o lugar geométrico dos pontos cuja distância será 14 até o foco direito pode ser escrito como:

\((x - \sqrt{136})^2 + y^2 = 14^2\)

Agora, devemos resolver o seguinte sistema:

\(\begin{cases} (x - \sqrt{136})^2 + y^2 = 14^2 \\ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 \end{cases}\)

Esse sistema não tem simplificações simples, por isso é recomendado o uso de um solver. De qualquer forma, é possível resolvê-lo isolando \(y^2\) na primeira equação e substituindo isso na segunda:

\( \frac{x^2}{100} + \frac{14^2 - (x - \sqrt{136})^2}{36} = 1\)

E em termos aproximados, por Bhaskara, teremos:

\(x \approx - 1 \\ x \approx 37,44\)

Substituindo esses valores na equação da elipse, obtemos:

\(x \approx - 1 \to y \approx \pm 5,97 \\ x \approx 37,44 \to y \ \text{imaginário}\)

Logo, os pontos serão:

\(\boxed{(-1; 5,97), (-1; -5,97)}\)