A direção da tangente a uma curva paramétrica \(\gamma(t)\) é dada por sua derivada, isto é:

\(\gamma(t)=(t^4+1,t^3+t)\Rightarrow \gamma'(t)=(4t^3,3t^2+1)\)

De forma que para a equação vetorial da reta tangente, temos:

\(X = X_0+\lambda\gamma'(t)\)

Substituindo as expressões, temos:

\(X(t) = (t^4+1,t^3+t)+\lambda(4t^3,3t^2+1)\)

Para \(t=-1\), temos:

\(X(-1) = [(-1)^4+1,(-1)^3+(-1)]+\lambda[4(-1)^3,3(-1)^2+1]\)

Logo, temos:

\(\boxed{X(-1) = (2,-2)+\lambda(-4,4),\ \ \forall\lambda\in\mathbb{R}}\)