A grosso modo, crime é descrito como um fato típico (descrito em lei), ilícito (conduta antijuridica,contrária à Lei) e culpável (culpa e dolo).
A culpa se verifica por meio de negligência, imprudência e impericia, e o dolo existe quando há intenção de cometer o crime.
Ressalta-se, só há crime se ofender bem jurídico (vida, liberdade, integridade fisica, etc.) de terceiros, por essa razão, autolesão não é considerada crime (princípio da Lesividade).
Além disso, para que determinado fato se configure crime, exige-se prévia disposição legal ( Princípio da Legalidade). Será editado somente por Lei Ordinária ou Complementar, e a competência é privativa da União.
Apenas para contribuir, existem três formas para conceituar crime.
No conceito analítico, como os colegas já responderam, é o fato típico, antijurídico e culpável. Existm outras posições que elencam apenas o fato típico e antijurídico - corrente bipartida que já foi superada entre nós.
Há o conceito formal, crime é toda violação a um norma penal - conceito dos mais simples e dos menos utilizados.
Por fim, há o conceito material de crime, que é toda violação a um bem jurídico penalmente tutelado. Não basta violar a letra da lei, há que causar um mal, sob pena da incidência do princípio da insignificância.
Há outras teorias, mas creio que já existem respostas suficientes.
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