Determine os valores de k1 e k2 para que o conjunto seja LD: A1 = [1 0 1 0 ] , A2 [1 1 0 -2 ] , A3= [2 -1 k1 k2] (matriz)

Para ser Ld um desses vetores tem que ser combinação linear dos outros, certo? Então podemos fazer

A1= a.A2+b.A3

[1 0 1 0]=a.[1 1 0 -2]+b[2 -1 k1 k2] , agora você monta o sistema

1=a+2b

0=a-b

1=b.k1

0=-2a+bk2

Daí, vemos que a=b=1/3, então k1=3 e k2=2.

Para que um conjunto de vetores seja LD, cada um deles deve poder ser reescrito como uma combinação linear dos outros:

\(A_3=a_1A_1+a_2A_2\)

Substituindo os vetores dados, temos:

\((2,-1,k_1,k_2)=a_1(1,0,1,0)+a_2(1,1,0,-2)\)

Reescrevendo em forma de um sistema de equações, temos:

\(\left\lbrace\begin{align} a_1+a_2&=2\\ a_2&=-1\\ a_1&=k_1\\ -2a_2&=k_2 \end{align}\right.\)

Pela segunda equação, temos:

\(a_2=-1\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(a_1=3\)

Substituindo na terceira equação temos:

\(k_1=a_1=3\)

Da quarta equação, temos:

\(k_2=-2a_2=2\)

Temos, portanto, que as constantes pedidas são:

\(\boxed{k_1=3\\k_2=2}\)