a) integral cos(6x)/raiz de pi+sen(6x) dx b) integral(t² * e- 1/2) dt

usa a regra da substituiçao, com u = denominador, calcula o du, ao substituir vai cair numa integral bem simples, integral de 2/6 du.

a)

Neste exercício, será calculada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int {\cos 6x \over \sqrt {\pi+ \sin 6x}}dx\)    \((I)\)

Para essa integral, será utilizado o método da substituição. Sendo \(u=\sin 6x\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d \over dx} \sin 6x\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=\cos 6x \cdot {d(6x) \over dx}\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=6\cos 6x \)

\(\Longrightarrow du=6\cos 6x\space dx\)

Substituindo os termos conhecidos, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {1 \over 6} \int { \color {Red}{6\cos 6x} \over \sqrt {\pi+ \color{Blue}{\sin 6x}}} \color{Red}{dx}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 6} \int { 1 \over \sqrt {\pi+ \color{Blue}u}} \color{Red}{du}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 6} \int ({\pi+ u})^{-0,5} du\)

\(\Longrightarrow {1 \over 6} \bigg[ {1 \over -0,5+1} ({\pi+ u})^{-0,5+1} +c \bigg ]\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.

Substituindo \(u=\sin 6x\) na expressão anterior, a integral é:

\(\Longrightarrow \int {\cos 6x \over \sqrt {\pi+ \sin 6x}}dx = {1 \over 6} {1 \over 0,5} ({\pi+ u})^{0,5} + c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int {\cos 6x \over \sqrt {\pi+ \sin 6x}}dx = {1 \over 3} \sqrt{\pi+ \sin x} + c $}\)

b)

Neste exercício, será calculada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int t^2e^{-0,5t}dt\)    

Para essa integral, será utilizado o método de integração por partes. Sendo \(u\) e \(v\) duas funções, esse método é definido pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv- \int v\space du\)   \((II)\)

Sendo \(u_1=t^2\) e \(dv_1=e^{-0,5t}dt\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du_1 \over dt}={d \over dt}t^2\)            \(\rightarrow {du_1 \over dt}=2t\)      \(\rightarrow du_1=2t\space dt\)

\(\Longrightarrow dv_1=e^{-0,5t}dt\)    \(\rightarrow v_1={1 \over -0,5}e^{-0,5t}\)    \(\rightarrow v_1=-2e^{-0,5t}\)

Substituindo os termos conhecidos, a equação \((II)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int u_1 \space dv_1=u_1v_1- \int v_1\space du_1\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=(t^2)(-2e^{-0,5t})- \int (-2e^{-0,5t}) (2t\space dt)\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-2t^2e^{-0,5t}+ 4\int te^{-0,5t} \space dt\)     \((III)\)

Agora, é necessário resolver a integral do lado direito da equação \((III)\), ou seja, deve-se resolver a seguinte integral:

\(\Longrightarrow 4\int te^{-0,5t} \space dt\)

Para essa nova integral, será novamente utilizado o método de integração por partes. Sendo \(u_2=t\) e \(dv_2=e^{-0,5t}dt\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du_2 \over dt}={d \over dt}t\)            \(\rightarrow {du_2 \over dt}=1\)      \(\rightarrow du_2=dt\)

\(\Longrightarrow dv_2=e^{-0,5t}dt\)    \(\rightarrow v_2={1 \over -0,5}e^{-0,5t}\)    \(\rightarrow v_2=-2e^{-0,5t}\)

Substituindo os termos conhecidos, a equação \((II)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int u_2 \space dv_2=u_2v_2- \int v_2\space du_2\)

\(\Longrightarrow \int t e^{-0,5t} \space dt=t(-2e^{-0,5t})- \int (-2e^{-0,5t})\space dt\)

\(\Longrightarrow \int t e^{-0,5t} \space dt=-2te^{-0,5t} + 2\int e^{-0,5t} dt\)

Conhecendo a solução da integral \(\int e^{-0,5t} dt\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int t e^{-0,5t} \space dt=-2te^{-0,5t} + 2\Big({1 \over -0,5}e^{-0,5t} \Big)\)

\(\Longrightarrow \int t e^{-0,5t} \space dt=-2te^{-0,5t} -4e^{-0,5t}\)

\(\Longrightarrow \int t e^{-0,5t} \space dt=-e^{-0,5t}(2t +4)+c\)    \((IV)\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.

Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-2t^2e^{-0,5t}+ 4 \color{Red}{\int te^{-0,5t} \space dt}\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-2t^2e^{-0,5t}+ 4 ( \color{Red}{-e^{-0,5t}(2t +4)+c})\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-2t^2e^{-0,5t} -4e^{-0,5t}(2t +4)+c\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-e^{-0,5t} \Big[2t^2 + 4(2t +4) \Big]+c\)

\(\Longrightarrow \int t^2 e^{-0,5t}dt=-e^{-0,5t} \Big (2t^2 + 8t +16 \Big) +c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int t^2 e^{-0,5t}dt= -2e^{-0,5t} \Big (t^2 + 4t +8 \Big)+c $}\)