Como calcular a integral de dx/x (raiz x^2+4)

Resolução :

A integral em questão é:

\(\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 4}}\)

A substituição necessária será, em termos trigonométricos, a seguinte:

\(x = 2tg(u), \ dx = 2sec^2(u) du\)

Precisamos relembrar também uma relação auxiliar, inferida da Relação Fundamental:

\(sec^2 = 1 + tg^2\)

Perceba que ao substituir \(x = 2tg(u)\), ficaremos com:

\(\int \frac{2sec^2(u) du}{2 tg(u) \sqrt{4tg^2(u) + 4}}\)

Como \(4tg^2(u) + 4 = 4(tg^2(u) + 1) = 4sec^2(u)\), teremos:

\(\int \frac{2sec^2(u) du}{2 tg(u) \cdot 2sec(u)} \\ \int \frac{sec(u) du}{2 tg(u)} \\ \int \frac{du}{2 sen(u)} \\ \boxed{\frac{1}{2} \int cossec(u)}\)

A integral de cossecante é tabelada!