Resolve primeiro a EDO com integração em ambos os lados
dy/dx = y(x)sqrt(x) => dy/y(x) = sqrt(x)dx => int [dy/y(x)] = int [sqrt(x)dx] => y(x) = c_1 e^((2 x^(3/2))/3)
E daí, usando a condição inicial y(9)=3, segue
y(x) = 3 e^[(2 x^(3/2))/3 - 18]
Podemos "multiplicar cruzado":
\(\frac{dy}{y} = \sqrt{x} dx \\ \frac{dy}{y} = x^{\frac{1}{2}} dx\)
Integrando ambos os lados, obtemos:
\(\ln y = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\ \ln y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\)
Pela definição de logaritmo, teremos:
\(y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C} \\ y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}} e^{C} \\ y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}} K, \ K \in \mathbb{R}\)
Dada a condição inicial, basta substituir x = 9:
\(3 = e^{\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}}} K \\ 3 = e^{\frac{2}{3} \cdot 27} K \\ 3 = e^{18} K \\ K = \frac{3}{e^{18}}\)
Finalmente, a solução final é dada por:
\(\boxed{y(x) = \frac{3e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}}{e^{18}}}\)
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