resolva a equação diferencial separável dy/dx=y√x, que satisfaz à condição inicial y (9)=3

Resolve primeiro a EDO com integração em ambos os lados
dy/dx = y(x)sqrt(x) => dy/y(x) = sqrt(x)dx  => int [dy/y(x)] = int [sqrt(x)dx] => y(x) = c_1 e^((2 x^(3/2))/3)

E daí, usando a condição inicial y(9)=3, segue

y(x) = 3 e^[(2 x^(3/2))/3 - 18]

Podemos "multiplicar cruzado":

\(\frac{dy}{y} = \sqrt{x} dx \\ \frac{dy}{y} = x^{\frac{1}{2}} dx\)

Integrando ambos os lados, obtemos:

\(\ln y = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\ \ln y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\)

Pela definição de logaritmo, teremos:

\(y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C} \\ y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}} e^{C} \\ y(x) = e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}} K, \ K \in \mathbb{R}\)

Dada a condição inicial, basta substituir x = 9:

\(3 = e^{\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}}} K \\ 3 = e^{\frac{2}{3} \cdot 27} K \\ 3 = e^{18} K \\ K = \frac{3}{e^{18}}\)

Finalmente, a solução final é dada por:

\(\boxed{y(x) = \frac{3e^{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}}{e^{18}}}\)

Olá. Sou o Luiz, estou graduando em eng civil e resolvo questões de diversas matérias da área de exatas. Muitos da Uniube já utilizaram dos meus serviços e continuo procurando por alunos. Se interessar, entre em contato pelo whatsapp: 31 98464-2756. Abç